AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2024 — Jour 1, 21 novembre 2024

Équation différentielle $y' + \frac{1}{4}y = 20\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}$ et dichotomie, urnes : probabilités conditionnelles, loi binomiale et combinaisons, vrai-faux sur les suites et une suite d'intégrales, distance entre deux droites non coplanaires · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice résout l'équation différentielle $y' + \frac{1}{4}y = 20\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}$ à l'aide d'une solution particulière $ax\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}$ , étudie la solution $f(x) = (20x + 8)\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}$ (variations, maximum) et encadre la solution de $f(x) = 8$ dans $[14, 15]$ par une fonction Python de dichotomie. Le deuxième exercice traite deux urnes par un arbre pondéré (probabilités totales, conditionnelle inversée), puis une loi binomiale et l'inéquation $1 - 0{,}72^n \geqslant 0{,}9$ , enfin un tirage simultané de deux boules dénombré par combinaisons. Le troisième exercice est un vrai-faux justifié sur la convergence de $u_n = \frac{25 + (-1)^n}{n}$ , la nature de la suite $t_n = \frac{k}{w_n}$ , la monotonie de $v_{n+1} = \ln(1 + v_n)$ et la relation $I_{n+1} = \mathrm{e} - (n+1)I_n$ pour $I_n = \int_1^{\mathrm{e}} (\ln x)^n\,\mathrm{d}x$ . Le quatrième exercice montre que deux droites sont non coplanaires et calcule leur distance à l'aide d'un plan $P$ d'équation $-2x + y + 5z + 5 = 0$ et de la perpendiculaire commune $(EF)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Équation différentielle $y' + \frac{1}{4}y = 20\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}$ , étude de sa solution et dichotomie en Python p. 1–2

Équations différentielles linéaires · Dérivabilité · Informatique et algorithmique · Continuité · Fonctions exponentielle et logarithme — solution particulière, équation homogène, condition initiale, $f(x) = (20x + 8)\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}$ , tableau de variations, valeurs intermédiaires, dichotomie

Exercice 2 — Deux urnes : arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale et combinaisons p. 2–3

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Coefficients binomiaux · Probabilités totales et formule de Bayes · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, $1 - 0{,}72^n \geqslant 0{,}9$ , tirage simultané, combinaisons

Exercice 3 — Vrai-faux : convergence de suites, nature d'une suite auxiliaire, suite $v_{n+1} = \ln(1 + v_n)$ et intégration par parties p. 3–4

Suites numériques · Intégrale sur un segment · Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme — convergence d'une suite, $u_n = \frac{25 + (-1)^n}{n}$ , suite auxiliaire $t_n = \frac{k}{w_n}$ , monotonie d'une suite, $I_n = \int_1^{\mathrm{e}} (\ln x)^n\,\mathrm{d}x$ , intégration par parties

Exercice 4 — Distance entre deux droites non coplanaires : plan, intersection et perpendiculaire commune p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — droites non coplanaires, représentation paramétrique, équation cartésienne d'un plan, intersection d'une droite et d'un plan, perpendiculaire commune, distance entre deux droites

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Dérivabilité Théorème de définition par récurrence Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Exponentielle et logarithme Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Ensembles finis et principe des tiroirs Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces vectoriels et sous-espaces