AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2019 — Remplacement, septembre 2019

Arbre pondéré, loi normale et intervalle de fluctuation, géométrie dans l'espace, fonction avec logarithme et primitive, suites (vrai-faux et algorithmes) ou matrice de transition · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice exploite un arbre pondéré et la formule de Bayes, détermine l'écart-type d'une loi normale à partir d'une probabilité imposée et teste une proportion annoncée par un intervalle de fluctuation. Le deuxième exercice calcule l'angle $\widehat{AOB}$ par un produit scalaire, vérifie l'équation $7x + 9y - 70z = 0$ du plan $(OAB)$ , coupe les droites $(CA)$ et $(CB)$ par un plan parallèle et montre que $(EF)$ est parallèle à $(AB)$ ; le troisième examine les conjectures d'un élève sur $g(x) = 4x - x\ln x$ , en dresse le tableau de variations et utilise la primitive $G(x) = \frac{1}{4}x^2(9 - 2\ln x)$ . Au choix, les non-spécialistes traitent un vrai-faux sur les suites puis la suite $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1 + U_n}$ , dont ils démontrent la forme explicite par récurrence avant de comparer trois algorithmes, et les spécialistes modélisent le trajet d'une bouteille entre deux ports et l'océan par la matrice $M$ , établissent $M^n = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}M$ et en déduisent la probabilité que la bouteille soit dans l'océan.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré et formule de Bayes, loi normale et intervalle de fluctuation p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, formule de Bayes, $P_C(F)$ , choix de l'écart-type $\sigma$ , intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 2 — Produit scalaire, angle, équation de plan et plans parallèles dans l'espace p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — produit scalaire, angle $\widehat{AOB}$ , $7x + 9y - 70z = 0$ , représentation paramétrique, plans parallèles, droites $(EF)$ et $(AB)$ parallèles

Exercice 3 — Fonction avec logarithme : signe, limites, variations et primitive p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $g(x) = 4x - x\ln x$ , $\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$ , $g'(x) = 3 - \ln x$ , $G(x) = \frac{1}{4}x^2(9 - 2\ln x)$ , primitive, validation de conjectures graphiques

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux sur les suites, récurrence et algorithmes p. 4–5

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — vrai-faux, $p_n = n^2 - 42n + 4$ , $u_{n+1} = \frac{1}{3}\sqrt{u_n^2 + 8}$ , suite encadrée, $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1 + U_n}$ , $U_n = \frac{2^n}{1 + 2^n}$ , raisonnement par récurrence, algorithme

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Bouteille entre deux ports : arbre, matrice de transition et puissances p. 5–7

Calcul matriciel · Chaînes de Markov · Conditionnement et indépendance · Suites numériques · Informatique et algorithmique — arbre pondéré, $U_n = M^nU_0$ , $M^2 = kM$ , $M^n = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}M$ , $1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ , algorithme de seuil

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Matrices d'une application linéaire