AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2021 — Jour 1, 7 juin 2021

Suite arithmético-géométrique et programme Python, projeté orthogonal dans un cube, tirage de lettres et loi binomiale, fonction logarithme et convexité ou équation différentielle et modèle logistique · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise un nombre d'abonnés par $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 250$ : majoration par récurrence, monotonie, suite géométrique auxiliaire, limite et seuil programmé en Python. Le deuxième détermine dans un cube l'équation du plan $(PQR)$ , puis le projeté orthogonal $L$ du centre $\Omega$ sur ce plan et la distance de $\Omega$ au plan. Le troisième dénombre des tirages simultanés de deux lettres, étudie le gain algébrique d'un jeu et utilise la loi binomiale. Au choix, l'exercice A lit la convexité sur la courbe d'une dérivée puis étudie $f(x) = \ln\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right)$ , et l'exercice B résout $y' = -0{,}4y + 0{,}4$ , étudie $p(t) = \frac{1}{1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t}}$ et vérifie qu'elle est solution de l'équation logistique $y' = 0{,}4y(1 - y)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Suite arithmético-géométrique : récurrence, suite géométrique auxiliaire, limite et programme Python p. 1

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 250$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, $v_n = u_n - 2500$ , suite géométrique, fonction Python, seuil

Exercice 2 — Cube : vecteur normal, équation du plan $(PQR)$ , projeté orthogonal et distance d'un point à un plan p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, $\vec{n}(1 ; -5 ; 1)$ , $x - 5y + z - 6 = 0$ , représentation paramétrique, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan

Exercice 3 — Tirage simultané de deux lettres : dénombrement, gain algébrique et loi binomiale p. 3

Coefficients binomiaux · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments — tirage simultané, combinaisons, gain algébrique, équité d'un jeu, loi binomiale, $P(X \geqslant 5)$ , $P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}9$

Exercice A — Au choix du candidat — Convexité lue sur la courbe de $f'$ et étude de $\ln\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right)$ p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité — lecture graphique, courbe de la dérivée, $f(x) = \ln\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right)$ , tableau de variations, théorème des valeurs intermédiaires, point d'inflexion

Exercice B — Au choix du candidat — Équation différentielle $y' = -0{,}4y + 0{,}4$ et fonction logistique p. 4–5

Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme · Équations différentielles non linéaires · Dérivabilité · Continuité — $y' = -0{,}4y + 0{,}4$ , solution particulière constante, $p(t) = \frac{1}{1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t}}$ , $y' = 0{,}4y(1 - y)$ , modèle logistique, théorème des valeurs intermédiaires

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs