AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2021 — Jour 2, 10 juin 2021

QCM (tangente, limites, loi binomiale, dénombrement), suite arithmético-géométrique et fonction exponentielle, losange et carré dans un cube, dépistage par mélange et logarithme ou équation différentielle · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM sur une tangente, deux limites, une probabilité binomiale et le nombre de codes de 8 signes. Le deuxième modélise un parc de panneaux solaires par la suite $u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250$ (programme Python de seuil, récurrence, suite géométrique, limite), puis par la fonction $f(x) = 12500 - 500\mathrm{e}^{-0{,}02x+1{,}4}$ . Le troisième montre dans un cube que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme et cherche les positions de $J$ pour lesquelles c'est un losange ou un carré. Au choix, l'exercice A compare un dépistage par mélange de sang à un dépistage individuel par l'espérance $E(X_n) = n + 1 - n \times 0{,}95^n$ et l'étude de $\ln(x) + x\ln(0{,}95)$ , et l'exercice B détermine $f(x) = \mathrm{e}^x + ax + b\mathrm{e}^{-x}$ par lecture graphique, résout $y' + y = 2\mathrm{e}^x - x - 1$ et étudie les variations d'une solution.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : tangente, limites, loi binomiale et dénombrement de codes p. 1–2

Dérivabilité · Suites numériques · Lois de Bernoulli et binomiale · Dénombrement et combinatoire · Limites de fonctions et asymptotes · Fonctions exponentielle et logarithme — QCM, équation de la tangente, $v_n = \frac{3n}{n+2}$ , tirages avec remise, $f(x) = 3\mathrm{e}^x - x$ , $36^8$ codes

Exercice 2 — Suite arithmético-géométrique, programme Python de seuil, puis modèle exponentiel p. 2–3

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique · Dérivabilité — $u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250$ , raisonnement par récurrence, $v_n = u_n - 12500$ , suite géométrique, programme Python, $f(x) = 12500 - 500\mathrm{e}^{-0{,}02x+1{,}4}$

Exercice 3 — Cube : droite parallèle, quadrilatère $FJLK$ parallélogramme, losange ou carré p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, représentation paramétrique, parallélogramme, losange, carré, paramètre $a$

Exercice A — Au choix du candidat — Dépistage par mélange : espérance du nombre d'analyses et étude de $\ln(x) + x\ln(0{,}95)$ p. 4–5

Espérance, variance, moments · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes — dépistage par mélange, $P(X_n = 1) = 0{,}95^n$ , $E(X_n) = n + 1 - n \times 0{,}95^n$ , $f(x) = \ln(x) + x\ln(0{,}95)$ , théorème des valeurs intermédiaires, croissances comparées

Exercice B — Au choix du candidat — Détermination de $\mathrm{e}^x + ax + b\mathrm{e}^{-x}$ et équation différentielle $y' + y = 2\mathrm{e}^x - x - 1$ p. 5–6

Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité — $f(x) = \mathrm{e}^x + ax + b\mathrm{e}^{-x}$ , lecture graphique, tangente, $y' + y = 2\mathrm{e}^x - x - 1$ , solution particulière, $g(x) = \mathrm{e}^x - x + 2\mathrm{e}^{-x}$

Dans l'édifice

Dérivabilité Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Limite d'une fonction en un point Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Espérance, variance et inégalités Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Systèmes linéaires et exponentielle de matrices