AnnalesBaccalauréat

Bac La Réunion Terminale 2023 — Jour 1, 28 mars 2023

Probabilités conditionnelles et loi binomiale, fonction logarithme, convexité et inégalité, suite récurrente et QCM, géométrie dans un cube · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise des appels téléphoniques par un arbre pondéré, établit $P(A) = 0{,}204$ , calcule une probabilité conditionnelle inverse, puis étudie le nombre d'acheteurs dans un échantillon par une loi binomiale (probabilité, espérance) et cherche la taille d'échantillon garantissant au moins un acheteur avec une probabilité d'au moins $0{,}99$ . Le deuxième étudie $f(x) = 3x + 1 - 2x\ln(x)$ : limites, variations, unique zéro $\alpha$ , sens de variation d'une primitive, convexité et tangente en 1, d'où l'inégalité $\ln(x) \geqslant 1 - \frac{1}{x}$ . Le troisième traite la suite $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{2}n + 1$ par un QCM (terme, suite auxiliaire, programme Python), puis démontre $n \leqslant u_n \leqslant n + 3$ par récurrence et en déduit les limites de $u_n$ et de $\frac{u_n}{n}$ . Le quatrième, dans un cube, montre que $\overrightarrow{AG}$ est normal au plan $(HFC)$ , montre que $R\left(\frac{2}{3} ; \frac{2}{3} ; \frac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal de $G$ sur ce plan, démontre qu'il existe un unique point $K$ de $(FG)$ tel que le triangle $KMN$ soit rectangle en $K$ , et calcule la fraction du volume du cube occupée par le tétraèdre $FNKM$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Appels téléphoniques : arbre pondéré, probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale et seuil p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments — arbre pondéré, $P(A) = 0{,}204$ , probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale, espérance, taille minimale d'un échantillon

Exercice 2 — Fonction $f(x) = 3x + 1 - 2x\ln(x)$ : variations, valeurs intermédiaires, primitive, convexité et inégalité $\ln(x) \geqslant 1 - \frac{1}{x}$ p. 2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité · Intégrale sur un segment — $f(x) = 3x + 1 - 2x\ln(x)$ , $f'(x) = 1 - 2\ln(x)$ , théorème des valeurs intermédiaires, primitive, convexité, tangente, $\ln(x) \geqslant 1 - \frac{1}{x}$

Exercice 3 — Suite $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{2}n + 1$ : QCM, encadrement par récurrence et limites p. 2–3

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{2}n + 1$ , QCM, $v_n = u_n - n$ , programme Python, raisonnement par récurrence, $n \leqslant u_n \leqslant n + 3$ , théorèmes de comparaison

Exercice 4 — Cube : plan $(HFC)$ , projeté orthogonal, triangle rectangle et volume du tétraèdre $FNKM$ p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, vecteur normal, plan $(HFC)$ , représentation paramétrique, projeté orthogonal sur un plan, triangle rectangle, volume d'un tétraèdre

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces