AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2011 — Session normale, 21 juin 2011

Test de dépistage et loi binomiale, QCM de nombres complexes, fonctions $x^n\mathrm{e}^{-x}$ et suite d'intégrales, distance à un plan ou congruences · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie un test de dépistage par un arbre pondéré et des probabilités conditionnelles, puis le nombre de personnes contaminées dans un échantillon par une loi binomiale. Le deuxième est un QCM de nombres complexes sur une rotation et des ensembles de points définis par un module, un quotient imaginaire pur ou un argument. Le troisième étudie les fonctions $f_n(x) = x^n\mathrm{e}^{-x}$ , identifie une courbe à l'aide d'une tangente, puis conjecture et démontre la monotonie de la suite $I_n = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ et détermine sa limite. Le dernier démontre la formule de la distance d'un point à un plan et l'applique avec une sphère (non-spécialistes), ou démontre le théorème de Gauss et résout un système de deux congruences (spécialistes).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Test de dépistage : arbre pondéré, probabilités conditionnelles et loi binomiale p. 1

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale — test de dépistage, sensibilité, spécificité, arbre pondéré, probabilités totales, $P(X \geqslant 2)$

Exercice 2 — QCM de nombres complexes : rotation et ensembles de points définis par module et argument p. 1–2

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — QCM, rotation, ensembles de points du plan complexe, $|z + \mathrm{i}| = |z - 1|$ , imaginaire pur, argument, ensemble de points défini par un argument

Exercice 3 — Fonctions $x^n\mathrm{e}^{-x}$ : tangente, maximum et suite d'intégrales $I_n = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ p. 2–4

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Suites numériques — $f_n(x) = x^n\mathrm{e}^{-x}$ , famille de fonctions, tangente, maximum, suite d'intégrales, suite décroissante minorée, conjecture graphique

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Distance d'un point à un plan (restitution de connaissances), projeté orthogonal et section d'une sphère p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — restitution organisée de connaissances, $d(M_0, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ , $x + 2y - z - 1 = 0$ , projeté orthogonal, sphère, cercle d'intersection

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Théorème de Gauss (restitution de connaissances) et système de congruences p. 5–6

PGCD, Bézout, Gauss · Théorème chinois — théorème de Bézout, théorème de Gauss, système de congruences, $n \equiv 9 \pmod{17}$ , $n \equiv 3 \pmod{5}$ , $n = 43 + 85k$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ