AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2016 — Session normale, 20 juin 2016 (Métropole, La Réunion)

Formule de Bayes, intervalle de confiance et loi exponentielle, vrai-faux de géométrie dans l'espace, fonction logarithme et suite récurrente ou droites rationnelles et points à coordonnées entières, angle de tir maximal au rugby · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite de composants électroniques par les probabilités totales et la formule de Bayes, par un intervalle de confiance et une taille d'échantillon, puis par une durée de vie de loi exponentielle dont on établit $P(T \leqslant t) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda t}$ avant d'en calculer l'espérance. Le deuxième exercice est un vrai-faux sur des points, un vecteur normal, une droite et un plan de l'espace. Au choix, les non-spécialistes étudient $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$ , un algorithme de seuil et la suite $u_{n+1} = u_n - \ln(u_n^2 + 1)$ , dont ils établissent la convergence et la limite, et les spécialistes cherchent une condition nécessaire et suffisante pour qu'une droite rationnelle $y = \frac{m}{n}x - \frac{p}{q}$ passe par un point à coordonnées entières, à l'aide des théorèmes de Bézout et de Gauss. Le dernier exercice cherche la position qui maximise l'angle de tir d'une transformation au rugby, à l'aide de la fonction tangente et du minimum de $x \mapsto x + \frac{765}{x}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Composants électroniques : formule de Bayes, intervalle de confiance et loi exponentielle p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Statistique : estimation et tests · Loi exponentielle · Intégrale sur un segment · Espérance, variance, moments — probabilités totales, intervalle de confiance à 95 %, taille minimale d'échantillon, densité $f(x) = \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}$ , $P(T \leqslant t) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda t}$ , probabilité conditionnelle, espérance $E(T)$

Exercice 2 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : alignement, vecteur normal, droite et plan p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai ou faux, alignement de trois points, vecteur normal à un plan, intersection d'une droite et d'un plan, position relative de deux droites

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Fonction $x \mapsto x - \ln(x^2 + 1)$ et suite récurrente associée p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Suites numériques · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — tableau de variations, intervalle stable $[0, 1]$ , algorithme de seuil, raisonnement par récurrence, suite monotone bornée, limite $\ell$ vérifiant $f(\ell) = \ell$

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Droites rationnelles et points à coordonnées entières : Bézout et Gauss p. 3–5

PGCD, Bézout, Gauss · Informatique et algorithmique — droite rationnelle, points à coordonnées entières, théorème de Bézout, théorème de Gauss, condition nécessaire et suffisante, terminaison d'un algorithme

Exercice 4 — Angle de tir maximal au rugby : fonction tangente et minimum de $x \mapsto x + \frac{765}{x}$ p. 6

Fonctions trigonométriques · Dérivabilité · Extrema et optimisation — fonction tangente, croissance de la tangente, $\tan(a - b)$ , $\tan\gamma = \frac{5{,}6x}{x^2 + 765}$ , angle maximal, minimum d'une fonction

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Lois de Poisson et loi exponentielle Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Théorème de définition par récurrence PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Fonctions trigonométriques Applications différentiables