AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2024 — Jour 2, 20 juin 2024 (Métropole, Antilles-Guyane)

Examen : probabilités conditionnelles, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev, taux de chlore : suite arithmético-géométrique et équation différentielle, fonction $x^2 + 2x - 1 + \ln(x + 2)$ et distance minimale, vrai-faux de géométrie dans l'espace · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine par un arbre pondéré la probabilité de réussite à un examen et une probabilité conditionnelle inversée, cherche un seuil de note pour une loi binomiale de paramètres 20 et 0,615, puis utilise l'espérance et la variance d'une moyenne de dix notes et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième modélise le taux de chlore d'une piscine par la suite $v_{n+1} = 0{,}92v_n + 0{,}3$ , étudiée par récurrence et par un script Python, puis par l'équation différentielle $y' = -0{,}08y + \frac{q}{50}$ . Le troisième lit graphiquement une tangente et la convexité, étudie $f(x) = x^2 + 2x - 1 + \ln(x + 2)$ et sa racine $\alpha$ , puis montre que la distance du point $J$ à la courbe de $\ln(x + 2)$ est minimale au point d'abscisse $\alpha$ , où la tangente est perpendiculaire à $(JM_{\alpha})$ . Le quatrième est un vrai-faux sur des plans, des droites et un projeté orthogonal dans l'espace.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Réussite à un examen : arbre pondéré, loi binomiale, moyenne de variables et Bienaymé-Tchebychev p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, $P_{\overline{R}}(\overline{Q})$ , loi binomiale de paramètres $20$ et $0{,}615$ , $S = N_1 + N_2 + \cdots + N_{10}$ , moyenne $M = \frac{S}{10}$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 2 — Taux de chlore : suite arithmético-géométrique, script Python et équation différentielle p. 2–3

Suites numériques · Équations différentielles linéaires · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — $v_{n+1} = 0{,}92v_n + 0{,}3$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, boucle while en Python, $y' = -0{,}08y + \frac{q}{50}$ , $f(x) = C\mathrm{e}^{-0{,}08x} + \frac{q}{4}$ , limite en l'infini

Exercice 3 — Fonction $x^2 + 2x - 1 + \ln(x + 2)$ : tangente, convexité, TVI et distance minimale à une courbe p. 3–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité · Extrema et optimisation — lecture graphique d'une tangente, $f(x) = x^2 + 2x - 1 + \ln(x + 2)$ , $f'(x) = \frac{2x^2 + 6x + 5}{x + 2}$ , théorème des valeurs intermédiaires, point d'inflexion, $h(x) = x^2 + [\ln(x + 2) - 1]^2$ , distance minimale, tangente perpendiculaire

Exercice 4 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : plans, coplanarité, position relative de deux droites et projeté orthogonal p. 6

Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai-faux, plan $8x - 5y + 4z - 16 = 0$ , coplanarité de quatre points, position relative de deux droites, plan $x - y + 2z - 2 = 0$ , projeté orthogonal sur un plan

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Applications différentiables Espaces vectoriels et sous-espaces