AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2025 — Jour 1, 17 juin 2025

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, fonction logarithme, convexité et aire, vrai-faux de géométrie dans l'espace, suite récurrente et équation différentielle · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite des groupes sanguins par un arbre pondéré et les probabilités totales, puis du nombre de donneurs universels dans un échantillon par une loi binomiale, et enfin d'une moyenne $M_N$ de variables indépendantes, pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit le nombre minimal $N$ de villes. Le deuxième part de lectures graphiques puis étudie $f(x) = x\left[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\right]$ : limites, convexité, point d'inflexion, position par rapport à une tangente, et calcul par intégration par parties de l'aire entre la courbe et cette tangente. Le troisième est un vrai-faux de géométrie dans l'espace (représentation paramétrique, vecteur normal, coplanarité de deux droites, distance d'un point à un plan). Le quatrième modélise la croissance d'une posidonie, d'abord par la suite $u_{n+1} = -0{,}02u_n^2 + 1{,}3u_n$ étudiée par récurrence et par un algorithme de seuil, puis par une équation différentielle ramenée par $g = \frac{1}{f}$ à une équation linéaire.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilités totales, loi binomiale, moyenne de variables indépendantes et inégalité de Bienaymé-Tchebychev p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments — arbre pondéré, groupes sanguins, probabilités totales, $p_O(R)$ , $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}0714)$ , moyenne $M_N = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_N}{N}$ , $V(M_N) = \frac{6{,}63}{N}$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 2 — Lectures graphiques, étude d'une fonction logarithme, convexité, position par rapport à une tangente et calcul d'aire p. 2–4

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Second degré · Limites de fonctions et asymptotes — lecture graphique, $f(x) = x\left[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\right]$ , point d'inflexion, position courbe-tangente, tangente $T_B$ , intégration par parties, $\int_1^{\mathrm{e}} x\ln x\,\mathrm{d}x$ , aire entre une courbe et une tangente

Exercice 3 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : représentation paramétrique, vecteur normal, coplanarité, distance à un plan p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai-faux, représentation paramétrique de $(AB)$ , vecteur normal au plan $(OAB)$ , position relative de deux droites, distance d'un point à un plan, plan $x - y + z + 1 = 0$

Exercice 4 — Suite récurrente et algorithme de seuil, puis équation différentielle ramenée à une équation linéaire p. 5–6

Suites numériques · Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique · Limites de fonctions et asymptotes — $u_{n+1} = -0{,}02u_n^2 + 1{,}3u_n$ , $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20$ , raisonnement par récurrence, algorithme de seuil, $y' = 0{,}02y(15 - y)$ , changement de fonction $g = \frac{1}{f}$ , $f(t) = \frac{15}{14\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 1}$ , posidonie

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Dérivabilité Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Anneaux de polynômes Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de définition par récurrence