AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2017 — Session normale, 28 novembre 2017

Lois uniforme et normale avec probabilités totales, fonction $\frac{(\ln x)^2}{x}$ , vrai-faux sur intégrale et tangente, suite de complexes, suite récurrente d'ordre 2 ou suites de matrices proies-prédateurs · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise des durées de trajet par une loi uniforme et une loi normale, puis combine les deux par la formule des probabilités totales et une probabilité conditionnelle inversée. Le deuxième étudie la fonction $f(x) = \frac{(\ln x)^2}{x}$ : limites, asymptotes, dérivée, variations et unique solution de $f(x) = 1$ ; le troisième est un vrai-faux sur une aire sous la courbe de $2\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{2x}$ et sur la tangente horizontale des courbes de $2n\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{2x}$ . Le quatrième étudie la suite de complexes $z_n = \frac{1+\mathrm{i}}{(1-\mathrm{i})^n}$ : alignement des points $O$ , $A_n$ , $A_{n+4}$ et valeurs de $n$ pour lesquelles $z_n$ est réel. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $u_{n+2} = \frac{5}{4}u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n$ au tableur puis à l'aide d'une suite constante et d'une suite géométrique, et les spécialistes étudient un modèle proies-prédateurs par $U_{n+1} = AU_n$ et $A^n = PT^nQ$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi uniforme, loi normale, probabilités totales et formule de Bayes p. 1

Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes — loi uniforme sur $[12, 15]$ , espérance d'une loi uniforme, loi normale $\mathcal{N}(14 ; 1{,}5^2)$ , probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée

Exercice 2 — Étude de la fonction $\frac{(\ln x)^2}{x}$ : limites, asymptotes, variations et équation $f(x) = 1$ p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{(\ln x)^2}{x}$ , asymptote verticale, asymptote horizontale, croissances comparées, théorème des valeurs intermédiaires, encadrement d'une solution

Exercice 3 — Vrai-faux : aire sous la courbe de $2\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{2x}$ et tangente horizontale d'une famille de courbes p. 2

Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité — vrai-faux, aire sous une courbe, primitive, $f_n(x) = 2n\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{2x}$ , tangente horizontale

Exercice 4 — Suite de nombres complexes $z_n = \frac{1+\mathrm{i}}{(1-\mathrm{i})^n}$ : alignement et nombres réels p. 3

Nombres complexes — $z_n = \frac{1+\mathrm{i}}{(1-\mathrm{i})^n}$ , quotient réel, points alignés, forme exponentielle, argument

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite récurrente d'ordre 2, suite constante et suite géométrique auxiliaires p. 3–4

Suites récurrentes linéaires · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+2} = \frac{5}{4}u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n$ , feuille de calcul, suite constante, raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, $u_n = 7 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Modèle proies-prédateurs : suites de matrices et puissances $A^n = PT^nQ$ p. 4–5

Calcul matriciel · Suites numériques · Informatique et algorithmique — $U_{n+1} = AU_n$ , matrice inverse, $A^n = PT^nQ$ , matrice triangulaire, raisonnement par récurrence, algorithme, limite

Dans l'édifice

La loi normale Indépendance d'événements et de tribus Exponentielle et logarithme Dérivabilité Limite d'une fonction en un point Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Théorème de définition par récurrence Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2017 — Session normale, 28 novembre 2017

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi uniforme, loi normale, probabilités totales et formule de Bayes p. 1

Exercice 2 — Étude de la fonction (ln⁡x)2x\frac{(\ln x)^2}{x} : limites, asymptotes, variations et équation f(x)=1f(x) = 1 p. 1–2

Exercice 3 — Vrai-faux : aire sous la courbe de 2ex−e2x2\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{2x} et tangente horizontale d'une famille de courbes p. 2

Exercice 4 — Suite de nombres complexes zn=1+i(1−i)nz_n = \frac{1+\mathrm{i}}{(1-\mathrm{i})^n} : alignement et nombres réels p. 3