AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2020 — Session normale, 2 décembre 2020

Équation complexe du troisième degré et géométrie, loi normale et probabilités conditionnelles, distance d'un point à une courbe, vrai-faux (logarithme, suites, espace) ou vrai-faux (arithmétique, matrices) · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice résout $z^3 = 4z^2 - 8z + 8$ par factorisation, écrit les solutions sous forme exponentielle et en tire la nature du quadrilatère $OABC$ , un alignement et un triangle rectangle. Le deuxième détermine l'espérance d'une loi normale par centrage-réduction, reconnaît parmi deux courbes celle de la densité de $X$ , puis utilise un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle inversée. Le troisième étudie $g(x) = x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{4}{(1 + \mathrm{e}^x)^2}$ , qui est le carré de la distance d'un point fixe $A$ à un point $M$ de la courbe de $f(x) = 3 - \frac{2}{1 + \mathrm{e}^x}$ , pour trouver le point de la courbe le plus proche de $A$ , puis montre que la tangente en $B$ est perpendiculaire à $(AB)$ . Au choix, les non-spécialistes traitent un vrai-faux sur une équation avec logarithme, deux suites et des droites de l'espace, et les spécialistes un vrai-faux sur une équation diophantienne, des restes, une équation en entiers et des puissances de matrices.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Équation $z^3 = 4z^2 - 8z + 8$ , forme exponentielle et configuration de points dans le plan complexe p. 1

Nombres complexes · Second degré — $z^3 - 4z^2 + 8z - 8 = (z-2)\left(z^2 - 2z + 4\right)$ , forme exponentielle, nature d'un quadrilatère, points alignés, triangle rectangle, plan complexe

Exercice 2 — Loi normale centrée réduite et probabilités conditionnelles p. 2

Loi normale et vecteurs gaussiens · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes — $Y = \frac{X - \mu}{0{,}95}$ , loi normale centrée réduite, détermination d'une espérance, courbe de densité, arbre pondéré, probabilités totales

Exercice 3 — Distance d'un point à une courbe exponentielle : étude d'une fonction auxiliaire et tangente perpendiculaire p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes · Extrema et optimisation — $g(x) = x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{4}{(1 + \mathrm{e}^x)^2}$ , $f(x) = 3 - \frac{2}{1 + \mathrm{e}^x}$ , $AM^2 = g(x)$ , distance minimale, tangente, droites perpendiculaires

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux : équation avec logarithme, suites, droites de l'espace et orthogonalité dans un cube p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Suites arithmétiques et géométriques · Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai-faux, $(3\ln x - 5)(\mathrm{e}^x + 4) = 0$ , $u_{n+1} = 2u_n - 5n + 6$ , nature d'une suite, position relative de deux droites, orthogonalité de deux droites, cube

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux : équation diophantienne, congruences et puissances de matrices p. 4

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Calcul matriciel — vrai-faux, $7x - 12y = 5$ , équation diophantienne, reste de la division euclidienne, $n\left(2n^2 - 3n + 5\right) = 3$ , expression de $A^n$ en fonction de $A$ et $I_3$

Dans l'édifice

Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes La loi normale Indépendance d'événements et de tribus Dérivabilité Exponentielle et logarithme Limite d'une fonction en un point Applications différentiables Suites réelles et limites Espaces vectoriels et sous-espaces PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ Matrices d'une application linéaire