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CAPES externe 2018 — Écrit disciplinaire appliqué

Cryptage par puissances modulo 29 ; constructions à la règle et au compas · 7 pages

Le premier problème étudie le chiffrement lettre à lettre par $x \mapsto$ reste de $x^k$ modulo 29 : il démontre le petit théorème de Fermat, étudie l'ordre d'un entier modulo 29, montre que $2$ est primitif et en déduit que $f_k$ permet le décryptage exactement lorsque $k$ est premier avec 28, avant de comparer trois méthodes de calcul de $f_{19}$ au tableur. Le second problème établit la stabilité des nombres constructibles par opérations et racine carrée, puis caractérise la constructibilité du polygone régulier à $n$ côtés par celle de $\cos(2\pi/n)$ et construit le pentagone régulier.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie A — Premiers essais p. 1–2

Cryptographie · Congruences et Z/nZ · Informatique et algorithmique · Enseignement et didactique — chiffrement, reste de la division euclidienne, tableur, fonction MOD, injectivité, décryptage

Problème 1, Partie B — Choix de la fonction de cryptage p. 2–3

Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Groupes cycliques et ordre · PGCD, Bézout, Gauss · Cryptographie · Congruences et Z/nZ · Informatique et algorithmique — petit théorème de Fermat, ordre modulo 29, racine primitive, groupe multiplicatif de $\mathbb{Z}/29\mathbb{Z}$ , équation diophantienne, théorème de Bézout

Problème 1, Partie C — Différents procédés de calcul de $f_{19}$ p. 3–4

Informatique et algorithmique · Cryptographie · Congruences et Z/nZ · Enseignement et didactique — exponentiation rapide, tableur, poignée de recopie, nombre de multiplications, efficacité d'un algorithme

Problème 2, Partie A — Constructions à la règle et au compas p. 5–6

Constructions à la règle et au compas · Géométrie affine et euclidienne · Enseignement et didactique · Corps et extensions · Nombres rationnels et décimaux — nombres constructibles, règle et compas, médiatrice, théorème de Thalès, racine carrée constructible, programme de construction

Problème 2, Partie B — Polygones réguliers p. 6–7

Constructions à la règle et au compas · Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne · Polynômes cyclotomiques · Racines et relations coefficients-racines — racines $n$ -ièmes de l'unité, polygone régulier, polygones constructibles, pentagone régulier, $\cos(2\pi/5)$ , construction du pentagone

Dans l'édifice

Les anneaux ℤ/nℤ Théorème de définition par récurrence Principe de récurrence Sous-groupes PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Espaces vectoriels et sous-espaces Corps Corps de décomposition ℚ, corps des fractions de ℤ ℚ est archimédien et dense Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes