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CCINP MPI 2026 — Maths 2

Réduction de matrices, matrices circulantes et polynômes de Laguerre · 4 pages

Deux exercices de réduction : la matrice $aJ + bI$ ( $J$ matrice de $1$ de taille 3), son polynôme minimal et ses puissances, puis les matrices circulantes $P(J)$ diagonalisées grâce aux racines $n$ -ièmes de l'unité. Le problème munit un espace de fonctions du produit scalaire $\int_0^{\infty} f g\, e^{-t} \,\mathrm{d}t$ , construit la base orthonormale des polynômes de Laguerre et établit l'inégalité de Bessel et une égalité de type Parseval pour $e^{-\alpha x}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — La matrice $aJ + bI$ p. 2

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Matrices remarquables · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — matrice de rang 1, polynôme minimal, puissances d'une matrice, division euclidienne, diagonalisation

Exercice 2 — Matrices circulantes p. 2–3

Matrices remarquables · Diagonalisation · Nombres complexes · Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — matrice circulante, matrice de permutation circulaire, racines de l'unité, polynôme caractéristique $X^n - 1$

Problème — Polynômes de Laguerre p. 3–4

Polynômes de Laguerre · Projection orthogonale et moindres carrés · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Formule de Parseval · Dérivabilité — polynômes de Laguerre, produit scalaire à poids, base orthonormale, inégalité de Bessel, formule de Rodrigues, égalité de Parseval

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces de Hilbert et théorème de projection Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de représentation de Riesz Le système trigonométrique est une base hilbertienne Dérivabilité