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CCINP PSI 2026 — Mathématiques

Pile ou face, théorème de Bohr-Mollerup et endomorphismes diagonaux par blocs · 8 pages

Le premier exercice étudie un jeu où le second joueur lance la pièce autant de fois que le premier a dû le faire pour obtenir Pile, et calcule la loi du nombre $Y$ de Pile qu'il obtient. Le deuxième démontre le théorème de Bohr-Mollerup : $\Gamma$ est l'unique fonction strictement positive sur $\mathbb{R}_+^*$ vérifiant $f(x+1) = x f(x)$ , $f(1) = 1$ et $\ln \circ f$ convexe. Le problème étudie les endomorphismes admettant une matrice diagonale par blocs de taille 1 ou 2 : il montre que les nilpotents de cette classe sont ceux de carré nul et qu'un endomorphisme annulé par un polynôme scindé à racines simples ou doubles y appartient.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Un jeu de pile ou face p. 2

Loi géométrique · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Séries entières — formule des probabilités totales, loi géométrique, loi binomiale, série dérivée

Exercice 2 — Une caractérisation de la fonction Gamma p. 3–4

Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions convexes · Intégrales à paramètre · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Espaces préhilbertiens et euclidiens — théorème de Bohr-Mollerup, fonction Gamma, log-convexité, formule de Gauss, domination, pentes d'une fonction convexe

Problème — Partie I : deux exemples p. 5–6

Sous-espaces stables · Diagonalisation · Polynômes — sous-espace stable, matrice diagonale par blocs, endomorphisme de dérivation

Problème — Partie II : endomorphismes nilpotents p. 6–7

Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices par blocs · Sous-espaces stables — indice de nilpotence, endomorphisme de carré nul, base adaptée, image incluse dans le noyau

Problème — Partie III : un critère d'appartenance p. 7–8

Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · PGCD, Bézout, Gauss · Interpolation polynomiale — lemme des noyaux, polynôme annulateur, identité de Bézout, racines doubles, somme directe

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Dérivabilité Théorème de convergence dominée Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Matrices d'une application linéaire Anneaux de polynômes PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss