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Centrale-Supélec MP 2012 — Maths 2

Suites récurrentes linéaires et matrices de Hankel · 4 pages

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Le sujet définit le polynôme minimal d'une suite récurrente linéaire comme générateur d'un idéal de $\mathbb{K}[X]$ et décrit, par le lemme des noyaux, l'espace des suites vérifiant une récurrence de polynôme caractéristique scindé. Il montre que le rang des matrices de Hankel $H_n(x) = (x_{i+j-2})$ d'une telle suite se stabilise à son ordre minimal et que le noyau de $H_{p+1}(x)$ fournit la récurrence minimale, avec un exemple traité par programme. La dernière partie, indépendante, cherche quels $n$ -uplets ordonnés sont spectres de matrices de Hankel réelles : elle établit des conditions nécessaires (dont l'inégalité (III.1) et des inégalités linéaires obtenues par une inégalité de trace) et traite complètement le cas $n = 3$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Suites récurrentes linéaires p. 1–2

Suites récurrentes linéaires · Polynômes d'endomorphismes · Anneaux et idéaux · Espaces vectoriels et dimension — opérateur de décalage, polynôme minimal d'une suite, idéal annulateur, lemme des noyaux, polynôme caractéristique scindé

Partie II — Matrices de Hankel associées à une suite récurrente linéaire p. 2–3

Suites récurrentes linéaires · Applications linéaires et rang · Matrices remarquables · Informatique et algorithmique — matrice de Hankel, rang d'une matrice, noyau, relation de récurrence minimale, programmation

Partie III — Valeurs propres des matrices de Hankel réelles p. 3–4

Théorème spectral · Matrices remarquables · Entrelacement et inégalités spectrales · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Inégalités classiques — matrice de Hankel symétrique, spectre ordonné, problème spectral inverse, inégalité de trace de von Neumann, identité de Lagrange

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Théorème du rang Théorème de définition par récurrence Espaces de Hilbert et théorème de projection Espaces vectoriels normés et espaces de Banach