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Centrale-Supélec MP 2016 — Maths 2

Sommes aléatoires de variables de Rademacher et intégrales de Borwein · 3 pages

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Le sujet étudie les variables $T_n = \sum a_k X_k$ où les $X_k$ sont indépendantes et uniformes sur $\{1, -1\}$ . Il calcule d'abord $f(x) = \int_0^\infty (1 - \cos t)\, e^{-xt}/t^2 \,\mathrm{d}t$ , en déduit $|s| = (2/\pi) \int_0^\infty (1 - \cos(st))/t^2 \,\mathrm{d}t$ , et montre que $u_n = \int_0^\infty (1 - \cos^n t)/t^2 \,\mathrm{d}t$ est équivalent à $\sqrt{n\pi/2}$ . Il en tire $E(|S_n|) = (2/\pi)\, u_n$ grâce à $E(\cos(S_n t)) = \cos^n t$ , démontre une loi forte des grands nombres pour $S_n/n$ par un moment d'ordre 4, puis étudie $E(|T_n|)$ et l'applique aux intégrales $J_n = \int_0^\infty (1 - \cos t \cos(t/3) \cdots \cos(t/(2n-1)))/t^2 \,\mathrm{d}t$ , égales à $\pi/2$ pour $n \leqslant 7$ puis strictement croissantes.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Suites et intégrales p. 1–2

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Fonctions spéciales — intégrale à paramètre, dérivation sous le signe intégrale, intégrale de Dirichlet, équivalent d'une suite d'intégrales, intégrale de Gauss, changement de variable

Partie II — Autour du pile ou face p. 2

Lois des grands nombres · Espérance, variance, moments · Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Couples et sommes de variables aléatoires · Marches aléatoires — variables de Rademacher, pile ou face, espérance de la valeur absolue, moment d'ordre 4, convergence presque sûre, inégalité de Markov

Partie III — D'autres sommes aléatoires p. 3

Espérance, variance, moments · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Suites numériques — intégrales de Borwein, sommes aléatoires pondérées, produit de cosinus, suite croissante convergente, série des carrés convergente

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites La fonction zêta de Riemann et son prolongement Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Espérance, variance et inégalités Fonctions caractéristiques des variables aléatoires Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ