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Centrale-Supélec PC 2012 — Maths 1

Polynômes de Bernstein et théorème taubérien de Hardy-Littlewood · 4 pages

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La première partie calcule des sommes binomiales, majore $S(x)$ , somme des $|x - k/n| \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n-k}$ , par $1/(2\sqrt{n})$ via Cauchy-Schwarz, et en déduit que les polynômes de Bernstein $B_n(f)$ approchent une fonction lipschitzienne ou $\mathcal{C}^1$ par morceaux à $O(1/\sqrt{n})$ près en norme uniforme. La seconde partie, pour une série entière réelle de rayon 1 dont la somme est équivalente à $1/(1 - x)$ en $1$ , montre par des contre-exemples que cette hypothèse n'entraîne ni $a_n \to 1$ ni la convergence vers $1$ des moyennes de Cesàro, puis, si de plus $a_n \geqslant 0$ , démontre par la méthode de Karamata que les moyennes $(a_0 + \ldots + a_n)/(n + 1)$ tendent vers $1$ (théorème de Hardy-Littlewood).

Le sujet, partie par partie

Partie I — Approximation p. 1–2

Théorème de Weierstrass · Coefficients binomiaux · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Espaces vectoriels normés · Dérivabilité — polynômes de Bernstein, sommes binomiales, approximation uniforme, fonction lipschitzienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, vitesse de convergence en $1/\sqrt{n}$

Partie II.A-B — Contre-exemples p. 2–3

Séries entières · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Fractions rationnelles · Équivalents et comparaison — développement en série entière, moyenne de Cesàro, rayon de convergence, équivalent en $1$ , contre-exemple

Partie II.C-E — Théorème de Hardy-Littlewood, démonstration de Karamata p. 3–4

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries entières · Théorème de Weierstrass · Équivalents et comparaison · Intégrale sur un segment — théorème taubérien, théorème de Hardy-Littlewood, méthode de Karamata, moyenne de Cesàro, coefficients positifs, encadrement par des polynômes, sommation d'Abel

Dans l'édifice

Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Ensembles finis et principe des tiroirs Espaces de Hilbert et théorème de projection Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Dérivabilité Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Sommation d'Abel et intégrales impropres Corps des fractions d'un anneau intègre Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse