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Centrale-Supélec PC 2013 — Maths 2

Matrices directement orthogonalement semblables et cercle propre · 4 pages

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Le sujet décrit $\mathrm{O}(2)$ et $\mathrm{SO}(2)$ (rotations et réflexions planes), puis étudie la relation « $A$ et $B$ sont semblables par une matrice de $\mathrm{SO}(n)$ » et la compare à la similitude et à la similitude orthogonale. À toute matrice réelle $A$ d'ordre 2 il associe un cercle propre, d'équation $\det(A(x, y)) = 0$ où $A(x, y)$ s'obtient en retranchant $x$ aux coefficients diagonaux, $y$ au coefficient $b$ et en ajoutant $y$ au coefficient $c$ , et montre que deux matrices sont directement orthogonalement semblables si et seulement si elles ont le même cercle propre. Il lit sur ce cercle et sur un rectangle propre les valeurs propres, la diagonalisabilité, les vecteurs propres et une décomposition $f = k\rho + \ell\sigma$ , puis prolonge l'étude par une quadrique propre dans l'espace.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Le groupe orthogonal en dimension 2 p. 1–2

Matrices orthogonales et rotations · Isométries et groupe orthogonal · Groupes · Réduction des endomorphismes · Informatique et algorithmique — rotations planes, réflexions, $\mathrm{SO}(2)$ , morphisme de groupes, angle orienté, similitude directe

Partie II — Matrices directement orthogonalement semblables p. 2

Matrices orthogonales et rotations · Calcul matriciel · Réduction des endomorphismes · Théorème spectral — similitude orthogonale, matrices semblables, relation d'équivalence, $\mathrm{SO}(n)$ , matrice et sa transposée

Partie III — Cercle propre d'une matrice carrée réelle d'ordre 2 p. 2–3

Matrices orthogonales et rotations · Réduction des endomorphismes · Géométrie affine et euclidienne · Déterminants · Isométries et groupe orthogonal · Informatique et algorithmique — cercle propre, rectangle propre, invariant de similitude orthogonale, décomposition rotation plus réflexion, discriminant du polynôme caractéristique, matrices symétriques d'ordre 2

Partie IV — Cercle propre et réduction p. 3–4

Diagonalisation · Trigonalisation · Géométrie affine et euclidienne · Nombres complexes · Matrices orthogonales et rotations — vecteurs propres, valeurs propres complexes, matrice diagonalisable, matrice trigonalisable, tangente à un cercle, angle entre vecteurs propres

Partie V — Quadrique propre p. 4

Coniques et quadriques · Réduction des endomorphismes · Nombres complexes — quadrique, hyperboloïde, sections planes, valeurs propres non réelles, figure en perspective

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Théorème de définition par récurrence Espaces de Hilbert et théorème de projection Espaces vectoriels et sous-espaces Formes multilinéaires alternées Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle