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Centrale-Supélec PC 2024 — Maths 1

Racines carrées : de la méthode de Héron à la décomposition de Dunford · 4 pages

Le sujet compare deux approximations de $\sqrt{2}$ : par la série entière binomiale de $\sqrt{1+x}$ , d'erreur en $O(n^{-3/2})$ , et par la méthode de Héron, de convergence quadratique. Il généralise la méthode de Héron aux matrices symétriques positives, après avoir établi l'existence et l'unicité de leur racine carrée symétrique positive. Il démontre la convergence locale de la méthode de Newton et la programme en Python, puis l'adapte aux matrices pour obtenir la décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford $M = A + N$ et en déduire une racine carrée de certaines matrices réelles trigonalisables à spectre strictement positif.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Quelques approximations de $\sqrt{2}$ p. 1–2

Séries entières · Méthode de Newton · Équivalents et comparaison · Séries alternées · Convergence uniforme et normale · Informatique et algorithmique — série binomiale, développement en série entière de $\sqrt{1+x}$ , méthode de Héron, convergence quadratique, vitesse de convergence, Python

Partie II — Racine carrée d'une matrice symétrique positive p. 2–3

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Méthode de Newton — racine carrée d'une matrice, matrice symétrique positive, groupe orthogonal $\mathrm{O}(2)$ , unicité de la racine carrée, méthode de Héron matricielle

Partie III — Méthode de Newton numérique p. 3

Méthode de Newton · Dérivabilité · Informatique et algorithmique · Points fixes et suites itératives — méthode de Newton, inégalité de Taylor-Lagrange, convergence quadratique, implémentation Python

Partie IV — Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford et calcul de racine carrée p. 3–4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Développements limités · Trigonalisation — décomposition de Dunford, méthode de Newton matricielle, matrice nilpotente, polynôme caractéristique, racine carrée de $I + N$ , développement limité de $\sqrt{1+x}$

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Théorème du point fixe de Banach Suites réelles et limites Suites, séries et parties compactes de ℂ Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de définition par récurrence Espaces de Hilbert et théorème de projection Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Dérivabilité Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme