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Centrale-Supélec PSI 2011 — Maths 1

Fonction Gamma, formules d'Euler et distribution de Boltzmann · 4 pages

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Après les propriétés de base de la fonction Gamma, le sujet établit le développement $\ln n! = n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + a + \frac{1}{12n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ , la valeur $a = \frac{1}{2} \ln(2\pi)$ de la constante de Stirling étant admise, puis l'identité d'Euler donnant $\Gamma(x)$ comme limite de $n!\, n^x / \bigl(x(x+1)\cdots(x+n)\bigr)$ , et une formule intégrale pour $\ln \Gamma(x+1)$ faisant intervenir la fonction $h(u) = u - [u] - 1/2$ . Il l'applique enfin à la maximisation de $-\sum \ln \Gamma(1+x_i)$ sous deux contraintes linéaires, ce qui conduit à la loi de répartition de Boltzmann.

Le sujet, partie par partie

Partie I — La fonction Gamma p. 1

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction Gamma, intégrabilité, relation fonctionnelle de Gamma, $\Gamma(n) = (n-1)!$

Partie II — Formule de Stirling p. 1

Formule de Stirling · Comparaison série-intégrale · Intégrale sur un segment · Développements asymptotiques — formule de Stirling, intégration par parties, reste d'une série convergente, développement asymptotique de $\ln n!$

Partie III — L'identité d'Euler p. 2

Fonctions Gamma et Bêta · Convergence dominée · Intégrale sur un segment — formule d'Euler-Gauss, produit infini de Gamma, intégrale de type Bêta, convergence dominée

Partie IV — Une intégrale à paramètre p. 2

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité — partie entière, fonction périodique, intégrale semi-convergente, intégration par parties, dérivation sous l'intégrale

Partie V — Une autre identité due à Euler p. 3

Fonctions Gamma et Bêta · Formule de Stirling · Intégrales à paramètre · Formule d'Euler-Maclaurin et sommation — formule d'Euler pour $\ln \Gamma(x + 1)$ , dérivée logarithmique de Gamma, fonction digamma, formule de Stirling, fonction 1-périodique $h$

Partie VI — Distribution de Boltzmann p. 3–4

Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Modèles de physique statistique · Compacité · Projection orthogonale et moindres carrés · Fonctions Gamma et Bêta — multiplicateurs de Lagrange, maximum sur un compact, supplémentaire orthogonal, distribution de Boltzmann, entropie

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Dérivabilité Sommation d'Abel et intégrales impropres Applications différentiables Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Compacité Espaces de Hilbert et théorème de projection