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Centrale-Supélec PSI 2013 — Maths 2

Exponentielle de matrices · 4 pages

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Le sujet définit l'exponentielle d'une matrice comme la limite $E(A)$ de $(I + A/n)^n$ , après avoir établi la limite analogue pour un nombre complexe. Il montre que l'exponentielle d'une antisymétrique réelle d'ordre 2 ou 3 est une rotation, puis étudie les cas diagonalisable ( $\det E(A) = e^{\operatorname{tr}(A)}$ , $E(A + B) = E(A)E(B)$ pour des matrices qui commutent) et nilpotent, avant de prouver l'existence de $E(A)$ pour toute matrice complexe par division euclidienne de $(1 + X/n)^n$ par le polynôme caractéristique et une matrice diagonale par blocs de Jordan.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Question préliminaire p. 1

Nombres complexes · Suites numériques · Exponentielle de matrices — exponentielle complexe, module et argument, limite de $(1 + z/n)^n$

Partie II — Matrices antisymétriques réelles d'ordre 2 ou 3 p. 2

Exponentielle de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Matrices remarquables · Sous-espaces stables — matrice antisymétrique, rotation, $\mathrm{SO}_3$ , angle de rotation, norme de Frobenius, réduction des antisymétriques

Partie III — Exponentielle de matrices diagonalisables p. 2–3

Exponentielle de matrices · Diagonalisation · Interpolation polynomiale · Sous-espaces stables · Déterminants — codiagonalisation, matrices qui commutent, morphisme de groupes, déterminant de l'exponentielle, trace, polynôme interpolateur

Partie IV — Exponentielle de matrices nilpotentes p. 3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Exponentielle de matrices · Informatique et algorithmique — indice de nilpotence, noyaux itérés, exponentielle d'une somme, matrice unipotente, procédure Maple

Partie V — Cas général p. 4

Exponentielle de matrices · Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices par blocs · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — polynôme caractéristique, division euclidienne, blocs de Jordan, polynôme annulateur, matrice diagonale par blocs

Dans l'édifice

Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de définition par récurrence