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Centrale-Supélec PSI 2022 — Maths 1

Matrices nilpotentes, matrices aléatoires à coefficients $\pm 1$ et familles presque orthogonales · 5 pages

Le sujet étudie d'abord les matrices nilpotentes réelles (trace, déterminant, cas symétrique et antisymétrique) à l'aide du produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ . Il considère ensuite des matrices aléatoires dont les coefficients sont indépendants et uniformes sur $\{-1, 1\}$ : espérance et variance $n!$ du déterminant, minoration de la probabilité d'inversibilité par $1/2^{n-1}$ , puis simulation en Python. Il termine par un argument de concentration sous-gaussienne montrant l'existence de très nombreux vecteurs unitaires de $\mathbb{R}^n$ deux à deux presque orthogonaux (nombre de l'ordre de $\exp(\varepsilon^2 n/4)$ ).

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Matrices nilpotentes p. 1–2

Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel · Espaces préhilbertiens et euclidiens — matrice nilpotente, trace, produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ , matrice antisymétrique, matrice symétrique nilpotente

Partie II.A–II.B — Résultats algébriques et loi de Rademacher p. 2–3

Espaces vectoriels et dimension · Couples et sommes de variables aléatoires · Applications linéaires et rang · Espérance, variance, moments — vecteurs à coordonnées $\pm 1$ , famille libre, rang, loi de Rademacher, produit de variables indépendantes

Partie II.C–II.D — Matrices aléatoires à coefficients $\pm 1$ et probabilité d'inversibilité p. 3–4

Matrices et graphes aléatoires · Déterminants · Espérance, variance, moments · Probabilités totales et formule de Bayes · Espaces vectoriels et dimension — matrice aléatoire, déterminant aléatoire, variance du déterminant égale à $n!$ , matrice inversible, système complet d'événements, minoration de probabilité

Partie III — Simulation en Python p. 4

Informatique et algorithmique · Matrices et graphes aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale — numpy, simulation, loi de Bernoulli, nombre moyen d'étapes

Partie IV — Vecteurs aléatoires unitaires presque orthogonaux p. 4–5

Inégalités de concentration · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments — paramètre de cohérence, inégalité $\operatorname{ch}(t) \leqslant \exp(t^2/2)$ , inégalité de Markov, variable sous-gaussienne, famille presque orthogonale

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Indépendance d'événements et de tribus Applications linéaires Théorème du rang Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de définition par récurrence Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding