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Centrale-Supélec PSI 2023 — Maths 1

Endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ conservant le rang, le déterminant ou le polynôme caractéristique · 5 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet caractérise les endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui conservent le rang, le déterminant ou le polynôme caractéristique. Après l'étude de $M \mapsto AM$ (même spectre que $A$ , diagonalisable si et seulement si $A$ l'est) et des applications $M \mapsto PMQ$ et $M \mapsto PM^\top Q$ , il démontre pour $n = 2$ , à partir de la réduction au type $J_{n,r}$ , qu'un endomorphisme conserve le rang si et seulement s'il est de l'une de ces deux formes. Il en déduit que conserver le déterminant revient à cette forme avec $\det(PQ) = 1$ , et, avec le produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ , que conserver le polynôme caractéristique revient à $M \mapsto PMP^{-1}$ ou $M \mapsto PM^\top P^{-1}$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Résultats préliminaires p. 1–2

Calcul matriciel · Polynômes d'endomorphismes · Applications linéaires et rang — matrice d'une application linéaire, changement de bases, polynôme annulateur, valeurs propres complexes

Partie II — Étude de quelques endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 2

Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Déterminants · Groupes de matrices — multiplication à gauche, transposition, automorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , spectre de $M \mapsto AM$

Partie III — Endomorphismes de rang donné p. 3

Applications linéaires et rang · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension — rang, matrices équivalentes, matrice $J_{n,r}$ , théorème du rang

Partie IV — Endomorphismes de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ conservant le rang p. 3–4

Applications linéaires et rang · Calcul matriciel · Diagonalisation · Déterminants · Matrices par blocs — endomorphismes conservant le rang, matrice de la transposition, base canonique de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , rang d'une matrice $2 \times 2$

Partie V — Endomorphismes conservant le déterminant ou le polynôme caractéristique p. 4–5

Déterminants · Applications linéaires et rang · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Calcul matriciel — endomorphismes conservant le déterminant, polynôme caractéristique, produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ , trace

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Théorème du rang Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz