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Centrale-Supélec PSI 2026 — Maths 2

Polynômes de Jacobi · 6 pages

Le sujet construit, par orthonormalisation de Gram-Schmidt pour le produit scalaire $\int P Q (1-t)^\alpha (1+t)^\beta$ sur $\left]-1, 1\right[$ , une famille de polynômes orthogonaux dont il montre la relation de récurrence à trois termes et le caractère simple et réel des racines. Il les identifie aux polynômes de Jacobi donnés par une formule de Rodrigues, en s'appuyant sur la formule de Vandermonde et des coefficients binomiaux généralisés. Le cas $\alpha = \beta = 0$ conduit aux polynômes de Legendre : équation différentielle, majoration $|L_k| \leqslant 1$ , récurrence et série génératrice $1/\sqrt{1 - 2tx + t^2}$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Un produit scalaire p. 1–2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrale sur un segment — intégrales de Riemann, poids de Jacobi, poids de Tchebychev, produit scalaire intégral

Partie B — Coefficients binomiaux p. 2

Coefficients binomiaux · Dénombrement et combinatoire — formule de Vandermonde, coefficients binomiaux généralisés

Partie C — Une famille de polynômes p. 2–3

Polynômes orthogonaux · Procédé de Gram-Schmidt · Racines et relations coefficients-racines — relation de récurrence à trois termes, racines simples, orthonormalisation de Gram-Schmidt

Partie D — Polynômes de Jacobi p. 3–4

Polynômes de Gegenbauer et de Jacobi · Coefficients binomiaux · Intégrale sur un segment · Polynômes orthogonaux — polynômes de Jacobi, formule de Rodrigues, formule de Leibniz, coefficient dominant, intégrations par parties

Partie E — Polynômes de Legendre p. 4–5

Polynômes de Legendre · Fonctions génératrices · Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières — polynômes de Legendre, série génératrice, équation différentielle de Legendre, relation de récurrence

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Anneaux de polynômes Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques