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e3a-Polytech MP 2013 — Maths 2

Trois exercices : matrice par blocs, calcul de la somme des $1/(2n+1)^2$ , hyperbole équilatère · 4 pages

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Le premier exercice montre que la matrice par blocs $M_A = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ A & 0 \end{pmatrix}$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est inversible et diagonalisable. Le deuxième calcule $xS(x) = \frac{1}{2} \ln((1+x)/(1-x))$ pour la série des $x^{2n}/(2n+1)$ , en déduit une intégrale égale à la somme des $1/(2n+1)^2$ , puis évalue cette somme, égale à $\pi^2/8$ , via l'intégrale de $\ln t/(1 - t^2)$ et une intégrale double sur un triangle. Le troisième établit que quatre points cocycliques d'une hyperbole équilatère d'équation $XY = k$ ont un produit d'abscisses constant.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Diagonalisabilité d'une matrice par blocs p. 2

Diagonalisation · Matrices par blocs · Applications linéaires et rang · Polynômes d'endomorphismes — matrice par blocs, théorème du rang, noyau et image, carré d'une matrice, polynôme annulateur scindé à racines simples

Exercice 2 — Séries entières et calcul de la somme des $1/(2n+1)^2$ p. 3

Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales multiples · Interversion des limites · Fractions rationnelles — rayon de convergence, argument tangente hyperbolique, intégration terme à terme, intégrale double, changement de variables, somme des $1/(2n+1)^2$

Exercice 3 — Hyperbole équilatère et cercle p. 4

Coniques et quadriques · Racines et relations coefficients-racines · Géométrie affine et euclidienne — hyperbole équilatère, asymptotes, changement de repère orthonormé, points cocycliques, relations coefficients-racines

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang Anneaux de polynômes Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Corps des fractions d'un anneau intègre Espaces vectoriels et sous-espaces