AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech PSI 2011 — Mathématiques

Réduction d'une matrice tridiagonale (matrice de Kac) · 6 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie la matrice tridiagonale $A$ de taille $n+1$ , de sous-diagonale $n, n-1, \ldots, 1$ et de sur-diagonale $1, 2, \ldots, n$ , à diagonale nulle. Après des questions de cours sur la similitude, il traite le cas $n = 2$ (matrice ${}^t\!A\,A$ , quadrique associée, puissances et exponentielle via un polynôme annulateur) et le cas $n = 3$ (base cyclique, système différentiel), puis montre que $A$ est diagonalisable de valeurs propres $n, n-2, \ldots, -n$ en l'identifiant à l'endomorphisme $Q \mapsto nXQ - (X^2-1)Q'$ de $\mathbb{R}_n[X]$ et à la dérivation sur l'espace engendré par les $\operatorname{ch}^{n-k} \operatorname{sh}^k$ .

Le sujet, partie par partie

Questions de cours — Matrices semblables p. 1

Calcul matriciel · Réduction des endomorphismes · Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — matrices semblables, rang, déterminant, polynôme caractéristique, lemme des noyaux, contre-exemple

Partie 1 — Cas $n = 2$ p. 2

Théorème spectral · Coniques et quadriques · Polynômes d'endomorphismes · Exponentielle de matrices · Formes bilinéaires et quadratiques — matrice ${}^t\!A\,A$ , valeurs propres positives, quadrique, cylindre elliptique, éléments de symétrie, division euclidienne de $X^p$ , polynôme annulateur, exponentielle de matrice

Partie 2 — Cas $n = 3$ p. 3

Diagonalisation · Systèmes différentiels linéaires · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices remarquables — base cyclique, matrice compagnon, polynôme caractéristique, sous-espaces propres, matrice de passage, système différentiel linéaire

Partie 3 — Un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ p. 3

Diagonalisation · Équations différentielles linéaires · Polynômes · Déterminants · Matrices remarquables — endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ , équation différentielle linéaire d'ordre 1, solutions polynomiales, valeurs propres $n - 2k$ , matrice tridiagonale, déterminant

Partie 4 — Dérivation sur un espace de fonctions hyperboliques p. 4

Diagonalisation · Sous-espaces stables · Équations linéaires d'ordre 2 · Espaces vectoriels et dimension — $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ , opérateur de dérivation, endomorphisme induit, famille d'exponentielles, matrice de Kac, matrice dans une base

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Espaces vectoriels et sous-espaces L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Espace dual Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Formes multilinéaires alternées Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs