AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts MP 2012 — Maths 1

Réduction de certaines matrices de coefficients binomiaux · 5 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie les polynômes réciproques de première et deuxième espèce, puis dénombre des familles d'entiers de somme fixée à l'aide de coefficients binomiaux et démontre, de façon indépendante, que $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique. Il montre ensuite que la matrice $S$ des coefficients binomiaux obtenus est symétrique définie positive, grâce à un produit scalaire intégral à poids exponentiel et aux polynômes de Laguerre, l'exprime à l'aide de la matrice de la translation $P(X)$ donne $P(X - 1)$ , et montre que son polynôme caractéristique est réciproque.

Le sujet, partie par partie

Partie A — Équations algébriques réciproques p. 2–3

Polynômes · Racines et relations coefficients-racines · Applications linéaires et rang · Projecteurs et trace — polynôme réciproque, symétrie, racines inverses, factorisation par $X - 1$ , changement de variable $x + 1/x$

Partie B — Un problème de dénombrement p. 3

Dénombrement et combinatoire · Coefficients binomiaux — familles d'entiers de somme fixée, bijection, relation de Pascal, relation de récurrence, cardinal d'un ensemble fini

Partie C — Polynôme caractéristique d'un produit de matrices p. 4

Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Densité · Déterminants · Topologie des espaces de matrices — polynôme caractéristique de $AB$ et $BA$ , densité de $\mathrm{GL}_n$ , argument de continuité, matrices inversibles

Partie D — Étude spectrale de certaines matrices p. 4–5

Matrices symétriques positives · Polynômes de Laguerre · Diagonalisation · Théorème spectral · Intégrales généralisées et intégrabilité · Matrices remarquables · Déterminants · Procédé de Gram-Schmidt — matrice de Pascal, polynômes de Laguerre, produit scalaire intégral, base orthonormale, matrice définie positive, matrice de passage, polynôme réciproque, matrices semblables

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Applications linéaires Théorème du rang Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Déterminant d'un endomorphisme Intérieur, adhérence Formes multilinéaires alternées Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann