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Mines-Ponts MP 2014 — Maths 1

Représentation matricielle $A e^A$ · 4 pages

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Le sujet démontre que l'application $A \mapsto A e^A$ est surjective de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dans lui-même. Il établit d'abord la surjectivité de $z \mapsto z e^z$ sur $\mathbb{C}$ par une étude de fonction réelle, puis traite les blocs de Jordan $J_n(\lambda)$ à l'aide des nilpotents d'indice maximal, démontre la réduction de Jordan des matrices nilpotentes par des conjugaisons par blocs, et conclut grâce à la décomposition en sous-espaces caractéristiques.

Le sujet, partie par partie

Notations et A — Préliminaire sur la représentation $z e^z$ dans $\mathbb{C}$ p. 2

Nombres complexes · Continuité · Dérivabilité — équation $z e^z = w$ , forme exponentielle, théorème des valeurs intermédiaires, surjectivité de $z \mapsto z e^z$

B — Représentation $A e^A$ d'un bloc de Jordan p. 3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Exponentielle de matrices · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Calcul matriciel — bloc de Jordan, nilpotent d'indice $n$ , vecteur cyclique, matrices semblables, exponentielle d'un nilpotent

C — Forme de Jordan d'une matrice nilpotente p. 3–4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices par blocs · Calcul matriciel — réduction de Jordan, indice de nilpotence, matrice triangulaire par blocs, conjugaison par une transvection par blocs, matrice diagonale par blocs

D — Représentation $A e^A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ p. 4

Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Exponentielle de matrices · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices par blocs — sous-espaces caractéristiques, lemme des noyaux, décomposition de Dunford, surjectivité de $A \mapsto A e^A$

Dans l'édifice

Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Dérivabilité Matrices d'une application linéaire L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme