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Mines-Ponts MP 2017 — Maths 2

Sous-groupes compacts du groupe linéaire · 6 pages

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Le sujet démontre le théorème du point fixe de Markov-Kakutani pour un sous-groupe compact $G$ de $\mathrm{GL}(E)$ agissant sur un convexe compact non vide, en construisant une norme invariante strictement convexe et en utilisant la propriété de Borel-Lebesgue établie au préalable. Il l'applique à l'enveloppe convexe des matrices $A^\top A$ pour montrer que tout sous-groupe compact de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est conjugué à un sous-groupe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ , puis que $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe compact maximal de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie A — Préliminaires sur les matrices symétriques p. 2–3

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Ensembles convexes — matrice symétrique définie positive, spectre, décomposition $S = R^\top R$ , ensemble convexe

Partie B — Autres préliminaires p. 3

Compacité · Ensembles convexes · Isométries et groupe orthogonal · Groupes de matrices · Espaces préhilbertiens et euclidiens — enveloppe convexe d'un compact, théorème de Carathéodory, endomorphisme conservant l'orthogonalité, similitude, groupe orthogonal compact

Partie C — Quelques propriétés de la compacité p. 3–4

Compacité · Topologie, compacité, connexité — suite extraite, précompacité, nombre de Lebesgue, propriété de Borel-Lebesgue, recouvrement ouvert, intersection de fermés

Partie D — Théorème du point fixe de Markov-Kakutani p. 4–5

Points fixes et suites itératives · Compacité · Ensembles convexes · Espaces vectoriels normés · Groupes de matrices — théorème de Markov-Kakutani, norme invariante, norme strictement convexe, moyennes de Cesàro des itérés, point fixe commun, diamètre

Partie E — Sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ p. 5–6

Groupes de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Matrices symétriques positives · Compacité · Isométries et groupe orthogonal — sous-groupe compact de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , conjugaison dans le groupe orthogonal, sous-groupe compact maximal, symétrie orthogonale, enveloppe convexe

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de Hahn-Banach Compacité Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Théorème de représentation de Riesz Espace topologique Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique