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Mines-Ponts MPI 2026 — Maths 1

Équation d'Euler-Lagrange et quelques applications · 6 pages

Le sujet établit le lemme fondamental du calcul des variations à l'aide de fonctions plateau de classe $\mathcal{C}^\infty$ construites à partir de $\exp(-1/x)$ , puis en déduit l'équation d'Euler-Lagrange satisfaite par une fonction qui rend extrémale une intégrale, ainsi que l'identité de Beltrami. Il l'applique à trois problèmes classiques : le plus court chemin entre deux points est un segment, la courbe de descente la plus rapide (brachistochrone) est une cycloïde, et la surface de révolution d'aire minimale est une caténoïde.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Lemme fondamental du calcul variationnel p. 2–3

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Calcul des variations — fonction plateau, $\exp(-1/x)$ , fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , lemme fondamental du calcul des variations

Partie II — Équation d'Euler-Lagrange p. 3–4

Calcul des variations · Intégrales à paramètre · Compacité — équation d'Euler-Lagrange, identité de Beltrami, dérivation sous l'intégrale, extremum local, calcul des variations

Partie III — Le chemin le plus court est la ligne droite p. 4

Calcul des variations · Courbes et surfaces — longueur d'un graphe, identité de Beltrami, fonction affine

Partie IV — Le chemin le plus rapide est la cycloïde p. 4–5

Calcul des variations · Équations différentielles non linéaires · Courbes et surfaces · Dérivabilité — brachistochrone, cycloïde, arccotangente, fonction réciproque

Partie V — La caténoïde p. 6

Calcul des variations · Équations différentielles non linéaires · Courbes et surfaces · Dérivabilité — caténoïde, cosinus hyperbolique, argument cosinus hyperbolique, surface minimale, film de savon

Dans l'édifice

Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Applications différentiables Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Compacité Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs