AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PC 2020 — Maths 2

Approximation par des exponentielles-polynômes · 4 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet établit par des méthodes euclidiennes des théorèmes d'approximation en moyenne quadratique pondérée. Après un développement en série entière de $(1 - x)$ à la puissance $-(\alpha + 1)$ via la fonction Gamma et des rappels sur la projection orthogonale, il construit les polynômes de Laguerre généralisés, orthogonaux pour le poids $x^\alpha e^{-x}$ sur $\left[0, +\infty\right[$ , et calcule leurs normes. Il approche d'abord les exponentielles $e^{-kx}$ par leurs projections sur ces polynômes, puis, grâce au théorème de Weierstrass admis, montre que toute fonction continue tendant vers $0$ en $+\infty$ est approchée par des polynômes pour la norme pondérée ; il en déduit l'approximation en moyenne quadratique de fonctions continues paires à support compact sur $\mathbb{R}$ par des produits $p(x) \exp(-x^2/2)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Résultats préliminaires (série entière, projections orthogonales) p. 2

Fonctions Gamma et Bêta · Séries entières · Projection orthogonale et moindres carrés · Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens — fonction Gamma, relation $\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)$ , rayon de convergence, permutation série intégrale, base orthonormale, distance à un sous-espace de dimension finie

Partie II — Polynômes de Laguerre p. 3

Polynômes de Laguerre · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Fonctions Gamma et Bêta — polynômes de Laguerre, formule de Rodrigues, produit scalaire à poids, famille orthogonale, dérivée $n$ -ième, intégrations par parties successives

Partie III — Approximation p. 4

Théorème de Weierstrass · Projection orthogonale et moindres carrés · Densité · Formule de Parseval · Polynômes de Laguerre · Séries entières — densité des polynômes, théorème de Weierstrass, égalité de Bessel-Parseval, exponentielles-polynômes, approximation en moyenne quadratique, poids gaussien

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Espaces de Hilbert et théorème de projection Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de représentation de Riesz Anneaux de polynômes Dérivabilité Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Intérieur, adhérence Le système trigonométrique est une base hilbertienne