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Mines-Ponts PSI 2015 — Maths 2

Matrices symplectiques · 5 pages

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Le sujet étudie le groupe symplectique $\mathrm{Sp}_{2n}$ des matrices $M$ de taille $2n$ vérifiant ${}^t\!M J M = J$ . Il en établit la structure de groupe stable par transposition, caractérise ses éléments par blocs, montre que son centre est réduit à $\{-I_{2n}, I_{2n}\}$ , puis prouve que toute matrice symplectique est de déterminant $1$ , d'abord quand le bloc $D$ est inversible, puis en général en trouvant un réel $\alpha$ tel que $D - \alpha B$ soit inversible.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Le groupe symplectique p. 2–3

Groupe symplectique · Matrices par blocs · Déterminants · Groupes — groupe symplectique, matrice $J$ , produit par blocs, sous-groupe de $\mathrm{GL}_{2n}$ , transposée, déterminant

Partie II — Centre de $\mathrm{Sp}_{2n}$ p. 3–4

Groupe symplectique · Groupes · Matrices par blocs · Calcul matriciel — centre d'un groupe, matrices qui commutent, base canonique des matrices, matrices élémentaires, transvections

Partie III — Déterminant d'une matrice symplectique p. 4–5

Groupe symplectique · Déterminants · Matrices par blocs · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces vectoriels et dimension — déterminant par blocs, matrice symétrique, factorisation par blocs, famille libre, noyau, déterminant égal à $1$

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs