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Mines-Ponts PSI 2017 — Maths 1

Marche aléatoire dans un labyrinthe · 6 pages

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Un rat se déplace au hasard dans un labyrinthe de cinq salles, et la loi de sa position vérifie $X_{k+1} = B X_k$ . Le sujet démontre un théorème ergodique en moyenne : pour un endomorphisme $1$ -lipschitzien pour une norme, les moyennes de Cesàro des itérés convergent vers le projecteur sur $\ker(u - I)$ parallèlement à $\operatorname{Im}(u - I)$ . Pour une matrice stochastique dont une puissance est à coefficients strictement positifs, il en déduit que $1$ est valeur propre simple, l'existence et l'unicité d'une loi invariante à coefficients strictement positifs, puis l'applique au labyrinthe.

Le sujet, partie par partie

Présentation et Partie I — Premiers pas p. 2–3

Chaînes de Markov · Probabilités totales et formule de Bayes · Graphes · Conditionnement et indépendance · Réduction des endomorphismes — marche aléatoire sur un graphe, matrice de transition, formule des probabilités totales, loi invariante, indépendance

Partie II — Convergence dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 3–4

Applications linéaires et rang · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Normes équivalentes — théorème ergodique en moyenne, moyennes de Cesàro des puissances, projecteur, $\ker(u - I)$ et $\operatorname{Im}(u - I)$ , somme directe, endomorphisme contractant

Partie III — Matrices stochastiques p. 4–5

Matrices stochastiques et bistochastiques · Théorème de Perron-Frobenius · Ensembles convexes · Topologie, compacité, connexité · Réduction des endomorphismes — matrice stochastique, matrice primitive, valeur propre simple, norme infinie, matrice de rang 1, vecteur ligne stochastique invariant

Partie IV — Application au labyrinthe p. 6

Chaînes de Markov · Matrices stochastiques et bistochastiques — loi stationnaire, limite des moyennes de Cesàro, probabilité de présence, unicité de la loi invariante

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires Théorème du rang Applications linéaires continues et dual topologique Sommation d'Abel et intégrales impropres Normes en dimension finie Théorème de Hahn-Banach Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ