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Mines-Ponts PSI 2020 — Maths 2

Caractérisation et exponentielle des matrices normales · 5 pages

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Le sujet montre que pour une matrice réelle $A$ sont équivalents : la transposée de $A$ est un polynôme en $A$ , $A$ est normale, $\|{}^t\!A X\| = \|A X\|$ pour tout $X$ , et $A$ est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs de tailles 1 et 2 (blocs $r \mathrm{R}(\theta)$ ). Il définit ensuite l'exponentielle de matrice par une série, calcule l'exponentielle des matrices normales et décrit son image.

Le sujet, partie par partie

Notations, I et II — Question préliminaire et exemples p. 2–3

Matrices orthogonales et rotations · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Matrices remarquables — matrice normale, matrices orthogonalement semblables, matrices antisymétriques, groupe orthogonal

Parties III et IV — Des conditions $(C_1)$ à $(C_4)$ p. 3–4

Sous-espaces stables · Isométries et groupe orthogonal · Diagonalisation · Matrices par blocs — matrice normale, sous-espaces propres orthogonaux, réduction par blocs, plan stable, récurrence sur la dimension

Partie V — La condition $(C_4)$ implique la condition $(C_1)$ p. 4

Interpolation polynomiale · Polynômes d'endomorphismes · Nombres complexes — interpolation de Lagrange, polynôme réel, division euclidienne, polynôme caractéristique

Partie VI — Exponentielle d'une matrice normale p. 4–5

Exponentielle de matrices · Topologie des espaces de matrices · Séries numériques · Matrices symétriques positives — exponentielle de matrice, norme infinie, partie fermée, décomposition polaire, matrice de permutation circulaire

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Groupes de Lie et groupes de matrices Anneaux de polynômes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Groupe topologique Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives