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Mines-Ponts PSI 2021 — Maths 2

Noyaux de type positif · 7 pages

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Le sujet définit les noyaux de type positif $K$ , dont toutes les matrices $(K(x_i, x_j))$ sont symétriques positives, les relie aux noyaux de la forme $\langle \varphi(x) \mid \varphi(y) \rangle$ et montre que $\min(x, y)$ en est un. Il étudie ensuite l'opérateur intégral $u_K$ , endomorphisme symétrique continu à valeurs propres positives ; pour $K(x, t) = \min(x, t)$ , $u_K$ résout le problème aux limites $g'' = -f$ , $g(0) = g'(1) = 0$ , dont il calcule les éléments propres. Il démontre sur cet exemple le théorème de Mercer, $K(x, y) = \sum \lambda_k e_k(x) e_k(y)$ , et la formule de la trace, ce qui donne la somme $\sum 1/(k + 1/2)^2$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et résultats préliminaires p. 2–3

Matrices symétriques positives · Intégrales à paramètre · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Intégrales multiples — matrice symétrique positive, valeurs propres positives, dérivation d'une intégrale à paramètre, théorème de Fubini, sommes de Riemann doubles, condition de Lipschitz

Noyaux de type positif p. 4–5

Matrices symétriques positives · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Théorème spectral · Diagonalisation — noyau de type positif, matrice de covariance, matrice de Gram, produit scalaire, noyau $\min(x, y)$

Opérateurs à noyau p. 5–7

Opérateurs et théorie spectrale · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Projection orthogonale et moindres carrés · Équations linéaires d'ordre 2 · Convergence uniforme et normale · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature — opérateur intégral à noyau, endomorphisme symétrique, problème aux limites, éléments propres, théorème de Mercer, formule de la trace

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de Cauchy-Lipschitz local Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes