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X-ENS MP 2013 — Maths A

Algèbres d'opérateurs quantiques sur les fonctions à support fini · 4 pages

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Le sujet étudie, sur l'espace $V$ des fonctions de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{C}$ à support fini, l'opérateur de décalage $E$ et des opérateurs diagonaux $H$ et de pondération $F$ soumis à des relations de commutation, d'abord du type $\mathfrak{sl}_2$ ( $H \circ E = E \circ H + 2E$ ), puis dans une version quantique en une racine primitive $\ell$ -ième de l'unité $q$ ( $H \circ E = q^2 E \circ H$ ). Il établit que l'opérateur de Casimir $C$ est une homothétie, puis construit une sous-algèbre d'opérateurs compatibles avec un projecteur $P_a$ et un morphisme d'algèbres vers $\mathcal{L}(W_\ell)$ , dont il étudie les images de $E$ , $H$ et $F$ .

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Opérateurs sur les fonctions à support fini p. 1–2

Applications linéaires et rang · Algèbres et sous-algèbres · Espaces vectoriels et dimension · Sous-espaces stables · Polynômes d'endomorphismes — opérateur de décalage, fonctions à support fini, base dénombrable, relations de commutation, sous-algèbre engendrée par un endomorphisme, isomorphisme d'algèbres

Partie II — Intermède p. 2–3

Diagonalisation · Matrices remarquables · Nombres complexes · Applications linéaires et rang · Projecteurs et trace — racine primitive de l'unité, matrice compagnon, vecteurs propres, projecteur, division euclidienne

Partie III — Opérateurs quantiques p. 3–4

Applications linéaires et rang · Réduction des endomorphismes · Nombres complexes · Algèbres et sous-algèbres — groupe quantique, $q$ -commutation, opérateur de Casimir, homothétie, suites périodiques, racine primitive de l'unité

Partie IV — Opérateurs quantiques modulaires p. 4

Algèbres et sous-algèbres · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Projecteurs et trace — sous-algèbre, morphisme d'algèbres, projecteur, opérateur nilpotent, vecteurs propres, dimension d'une algèbre de polynômes d'endomorphisme

Dans l'édifice

Applications linéaires Théorème du rang Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Déterminant d'un endomorphisme