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X-ENS MP 2017 — Maths B

Inégalités fonctionnelles pour la mesure gaussienne · 6 pages

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Le sujet introduit variance et entropie d'une fonction relativement à une densité de probabilité $m$ , puis étudie l'opérateur $Lf = f''/2 - x f'$ associé à la gaussienne $\mu(x) = \exp(-x^2)/\sqrt{\pi}$ et la famille $\Phi_f(t, x)$ obtenue en intégrant $f(x \cos t + y \sin t)$ contre $\mu(y)$ , ce qui conduit à l'inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne $\operatorname{Ent}(f) \leqslant \int f'^2 \,\mathrm{d}\mu$ . Il en déduit, pour une mesure vérifiant une telle inégalité, une inégalité de Poincaré et des bornes de concentration exponentielles (argument de Herbst), puis démontre une inégalité de type Prékopa-Leindler et en tire une inégalité de concentration gaussienne pour les voisinages d'unions finies d'intervalles.

Le sujet, partie par partie

Notations et Préliminaires — Variance et entropie relativement à une mesure p. 1–2

Inégalités fonctionnelles · Fonctions convexes · Intégrales généralisées et intégrabilité · Inégalité de Jensen — entropie relative, variance, fonction $x \ln x$ , inégalité de la tangente, densité de probabilité

Partie I — Opérateur d'Ornstein-Uhlenbeck et semi-groupe de Mehler p. 2–3

Semi-groupes et générateurs · Intégrales à paramètre · Loi normale et vecteurs gaussiens · Intégrales généralisées et intégrabilité · Calcul différentiel — opérateur d'Ornstein-Uhlenbeck, mesure gaussienne, intégration par parties, formule de Mehler, dérivation sous l'intégrale, invariance de la mesure

Partie II — Inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne p. 3–4

Inégalités fonctionnelles · Intégrales à paramètre · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Semi-groupes et générateurs — inégalité de log-Sobolev, entropie, information de Fisher, interpolation, dérivation sous l'intégrale

Partie III — De Sobolev logarithmique à Poincaré et à la concentration p. 4–5

Inégalités fonctionnelles · Inégalités de concentration · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité — inégalité de Poincaré, argument de Herbst, transformée de Laplace, queue gaussienne, intégrabilité exponentielle, fonctions lipschitziennes

Partie IV — Inégalité de Prékopa-Leindler et concentration gaussienne p. 5–6

Inégalités fonctionnelles · Inégalités de concentration · Intégrales généralisées et intégrabilité · Inégalité arithmético-géométrique — inégalité de Prékopa-Leindler, transport monotone, changement de variable, distance à un ensemble, voisinage d'un ensemble, concentration de la mesure gaussienne

Dans l'édifice

Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Dérivabilité Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée La loi normale Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Espaces de Hilbert et théorème de projection Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding