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X-ENS PC 2014 — Maths

Propriétés asymptotiques d'intégrales à paramètre · 6 pages

Le sujet étudie le comportement asymptotique d'intégrales à paramètre. Il établit la méthode de Laplace pour $F(t) = \int e^{-t\phi(x)} f(x) \,\mathrm{d}x$ , sans puis avec point critique, et en déduit la formule de Stirling. Il montre ensuite que $\int \psi(x/\varepsilon) f(x) \,\mathrm{d}x$ tend vers la valeur moyenne de $\psi$ multipliée par $\int f$ , avec une application à une équation différentielle à second membre rapidement oscillant. Il termine par des majorations d'intégrales oscillantes $\int e^{i\lambda\phi(x)} f(x) \,\mathrm{d}x$ en $\lambda^{-N}$ , $\lambda^{-1}$ et $\lambda^{-1/2}$ (lemme de van der Corput).

Le sujet, partie par partie

Notations et I — Intégrales à phase réelle p. 1–3

Méthode de Laplace et phase stationnaire · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Formule de Stirling · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrale sur un segment — méthode de Laplace, point critique non dégénéré, intégrale de Gauss, changement de variable, formule de Stirling, fonction Gamma

II — Fonctions périodiques p. 3–5

Séries de Fourier · Intégrale sur un segment · Équations linéaires d'ordre 2 · Formule de Parseval · Convergence des séries de Fourier · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Théorème de Cauchy-Lipschitz — valeur moyenne d'une fonction périodique, limite de $\int \psi(x/\varepsilon) f(x) \,\mathrm{d}x$ , fonctions à support compact, subdivision de pas $2\pi\varepsilon$ , variation des constantes, coefficients de Fourier

III — Intégrales oscillantes p. 5–6

Méthode de Laplace et phase stationnaire · Intégrale sur un segment · Inégalités classiques · Dérivabilité — phase stationnaire, intégrale oscillante, lemme de van der Corput, intégration par parties itérée, décroissance en puissance de $\lambda$

Dans l'édifice

Dérivabilité Suites réelles et limites Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème fondamental de l'analyse Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Cauchy-Lipschitz local Espaces vectoriels normés et espaces de Banach