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X-ENS PSI 2017 — Maths

Endomorphisme nilpotent anticommutant avec une symétrie et problème aux valeurs propres généralisé · 8 pages

Dans un espace euclidien de dimension $2m + 1$ , le sujet considère un endomorphisme nilpotent $T$ d'indice $2m + 1$ et une symétrie orthogonale $M$ avec $TM + MT = 0$ ; il étudie les images et noyaux des puissances de $T$ , un sous-espace $G$ muni du produit scalaire $(v, w) \mapsto \langle T(v) \mid T(w) \rangle$ et construit une paire caractérisante $(w_1, w_2)$ . Il montre que le problème « $\langle u \mid v \rangle = \lambda \langle T(u) \mid T(v) \rangle$ pour tout $v$ de $G$ » a une solution non nulle si et seulement si $\lambda$ annule un produit $Q_1Q_2$ de polynômes scindés à racines simples, proportionnel à $\psi(\lambda) = \det(A - \lambda B)/\det(B)$ . Le cas $E = \mathbb{R}_{2m}[X]$ , $T =$ dérivation, $M = P \mapsto P(-X)$ fait intervenir les polynômes de Legendre et l'inégalité $\int P^2 \leqslant 4\int P'^2$ pour $P(\pm 1) = 0$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Endomorphisme nilpotent et symétrie orthogonale p. 2–4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang · Sous-espaces stables · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Formes bilinéaires et quadratiques — endomorphisme nilpotent, indice de nilpotence, symétrie orthogonale, noyaux et images itérés, somme directe orthogonale, endomorphismes anticommutants

Partie II — Un problème aux valeurs propres généralisé p. 5–6

Formes bilinéaires et quadratiques · Théorème spectral · Déterminants · Racines et relations coefficients-racines · Matrices symétriques positives — problème aux valeurs propres généralisé, $\det(A - \lambda B)$ , matrice de Gram, réduction simultanée, polynôme scindé à racines simples, produit scalaire

Partie III — Application aux polynômes et aux polynômes de Legendre p. 7–8

Polynômes de Legendre · Inégalités fonctionnelles · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Racines et relations coefficients-racines — polynômes de Legendre, formule de Rodrigues, produit scalaire intégral, dérivation des polynômes, inégalité de Poincaré, conditions aux bords

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Théorème du rang Espace dual Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Anneaux de polynômes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse