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X-ENS PSI 2018 — Maths

Problème aux limites $-u'' + cu = f$ : existence, discrétisation et convergence · 8 pages

Le sujet montre par une méthode de tir que le problème $-u'' + c(x)u = f$ , $u(0) = u(1) = 0$ ( $c \geqslant 0$ ) admet une unique solution, positive si $f$ l'est. Il étudie la matrice tridiagonale $A_n$ de discrétisation (valeurs propres, vecteurs propres, M-matrices et positivité de l'inverse), puis le schéma aux différences finies associé, dont il prouve la convergence en $O(1/n^2)$ à l'aide de la norme subordonnée à $\|\cdot\|_\infty$ . Enfin, pour $f$ höldérienne et $c = 0$ , il majore l'erreur d'approximation par les polynômes de Bernstein, via une interprétation probabiliste avec des variables de Bernoulli, et en déduit une approximation polynomiale de la solution.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Existence et unicité des solutions p. 2–3

Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Équations linéaires d'ordre 2 · Théorème de Cauchy-Lipschitz — problème aux limites, méthode de tir, principe du maximum, problème de Cauchy linéaire, positivité de la solution

Partie 2 — Une matrice de discrétisation p. 3–4

Matrices remarquables · Diagonalisation · Suites récurrentes linéaires · Matrices positives et stochastiques · Nombres complexes — matrice tridiagonale, valeurs propres de la matrice du laplacien discret, M-matrice, inverse à coefficients positifs, récurrence linéaire d'ordre 2

Partie 3 — Une suite d'approximations de la solution p. 5

Schémas aux différences finies · Dérivabilité · Matrices positives et stochastiques · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville — différences finies, schéma à trois points, erreur de consistance, formule de Taylor, positivité discrète

Partie 4 — Un premier résultat de convergence p. 5–6

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Schémas aux différences finies · Matrices positives et stochastiques — norme subordonnée à la norme infinie, convergence d'ordre 2, stabilité du schéma, norme de l'inverse

Partie 5 — Un second résultat de convergence p. 6–8

Théorème de Weierstrass · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Dérivabilité · Schémas aux différences finies — polynômes de Bernstein, fonction höldérienne, vitesse de convergence, variables de Bernoulli, théorème de Rolle

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Matrices d'une application linéaire Suites réelles et limites Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Fonctions de classe Cᵏ Dérivabilité Applications linéaires continues et dual topologique Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Espaces de Hilbert et théorème de projection