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Agrégation externe 2015 — Mathématiques générales

Formes quadratiques binaires entières et représentation des entiers · 8 pages

Le sujet étudie les formes quadratiques binaires définies positives $q = [a, b, c]$ à coefficients entiers de discriminant $4ac - b^2 = d$ , à équivalence propre près sous $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ : réduction de Gauss, finitude du nombre de classes, calcul pour $d = 20$ , groupe $\mathrm{SO}(q, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Il relie le nombre de représentations primitives d'un entier $m$ par les formes de discriminant $d$ au nombre de racines carrées de $-d$ modulo $4m$ , compte ces racines à l'aide du symbole de Legendre et du lemme chinois, puis, pour $d = 20$ , démontre la loi de réciprocité $\left(\frac{5}{p}\right) = \left(\frac{p}{5}\right)$ par une action de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sur une quadrique de $\mathbb{F}_5^p$ et caractérise les nombres premiers de la forme $x^2 + 5y^2$ ou $2x^2 + 2xy + 3y^2$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Généralités sur les formes quadratiques sur $\mathbb{R}^2$ p. 2–4

Formes quadratiques binaires entières · Formes bilinéaires et quadratiques · Groupes de matrices · Isométries et groupe orthogonal · Calcul matriciel · Groupes — forme quadratique binaire, matrices congruentes, groupe orthogonal d'une forme, $\mathrm{SO}(q)$ , équivalence propre, $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ , forme définie positive

Partie 2 — $\mathbb{Z}$ -congruence et nombre de classes p. 4–5

Formes quadratiques binaires entières · Groupes de matrices · Congruences et Z/nZ · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Groupes cycliques et ordre — forme réduite, réduction de Gauss, nombre de classes, discriminant, équation diophantienne, $x^2 + 5y^2$

Partie 3 — Représentabilité d'un entier par une forme p. 5–6

Formes quadratiques binaires entières · Congruences et Z/nZ · Entiers algébriques et équations diophantiennes · PGCD, Bézout, Gauss · Groupes de matrices — représentation primitive, racines carrées modulo $4m$ , entiers premiers entre eux, relation de Bézout, nombre de représentations

Partie 4 — Nombre de solutions d'une équation modulaire p. 6–7

Résidus quadratiques et réciprocité · Théorème chinois · Congruences et Z/nZ · Groupes cycliques et ordre · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Nombres premiers · Groupes — symbole de Legendre, symbole de Jacobi, critère d'Euler, carrés modulo $p^a$ , groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , entiers sans facteur carré, lemme chinois

Partie 5 — Nombre de solutions d'équations quadratiques p. 7–8

Résidus quadratiques et réciprocité · Formes quadratiques binaires entières · Actions de groupes · Corps finis · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Nombres premiers · Congruences et Z/nZ — loi de réciprocité quadratique, formule des classes, quadrique sur $\mathbb{F}_5$ , nombres premiers de la forme $x^2 + 5y^2$ , nombre de représentations

Dans l'édifice

Espace dual Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Matrices d'une application linéaire Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Les anneaux ℤ/nℤ Entiers algébriques Anneaux d'entiers des corps quadratiques Entiers de Gauss et théorème des deux carrés PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Théorème fondamental de l'arithmétique Corps finis