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Agrégation interne 2014 — Épreuve 1

Sous-groupes à un paramètre, groupe affine et exponentielle dans les groupes classiques · 5 pages

Le sujet rassemble des préliminaires sur l'exponentielle de matrices, les applications affines et les matrices de trace nulle, puis montre qu'un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ contenu dans la boule ouverte de centre $I$ et de rayon 1 est trivial. Il prouve que tout sous-groupe à un paramètre continu de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est de la forme $t \mapsto \exp(tA)$ , décrit les orbites des vecteurs du plan sous les sous-groupes à un paramètre de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ et classe les morphismes continus de $\mathbb{R}$ dans le groupe affine spécial du plan. Enfin il étudie la connexité par arcs de $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ , $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SU}_n(\mathbb{C})$ , leurs algèbres de Lie, la surjectivité de l'exponentielle sur $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SU}_n(\mathbb{C})$ , et le morphisme surjectif de $\mathrm{SU}_2(\mathbb{C})$ sur $\mathrm{SO}_3(\mathbb{R})$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Résultats préliminaires p. 2–3

Exponentielle de matrices · Calcul matriciel · Géométrie affine · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Groupes de matrices — exponentielle de matrice, déterminant de l'exponentielle, groupe affine, point fixe d'une application affine, matrice de trace nulle, diagonale nulle

Partie II — Sous-groupes contenus dans une boule p. 3

Groupes de matrices · Nilpotents, Jordan, Dunford · Réduction des endomorphismes · Normes subordonnées et applications linéaires continues — boule centrée en l'identité, valeurs propres, matrice unipotente, sous-groupe de $\mathrm{GL}_n$

Partie III — Sous-groupes à un paramètre de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ p. 3–4

Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Exponentielle de matrices · Équations fonctionnelles · Coniques et quadriques — sous-groupe à un paramètre, morphisme continu, régularisation par intégrale, orbites, ellipse, hyperbole

Partie IV — Morphismes continus de $\mathbb{R}$ dans $\mathrm{SA}_2(\mathbb{R})$ p. 4

Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Géométrie affine · Exponentielle de matrices · Équations fonctionnelles — groupe affine, applications affines de déterminant 1, translations, orbites, équation de Cauchy, fonctions additives

Partie V — Groupes classiques, algèbres de Lie et $\mathrm{SU}_2(\mathbb{C})$ p. 4–5

Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Connexité · Exponentielle de matrices · Algèbres et sous-algèbres · Actions de groupes · Isométries et groupe orthogonal · Formes bilinéaires et quadratiques — $\mathrm{SL}_n$ de $\mathbb{R}$ , $\mathrm{SO}_n$ de $\mathbb{R}$ , $\mathrm{SU}_n$ de $\mathbb{C}$ , algèbre de Lie, connexité par arcs, crochet de Lie, représentation adjointe, morphisme de $\mathrm{SU}_2$ sur $\mathrm{SO}_3$

Dans l'édifice

L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Applications linéaires continues et dual topologique Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Déterminant d'un endomorphisme Continuité Caractérisations de la connexité Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Groupes Espace dual