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Agrégation interne 2020 — Épreuve 1

Drapeaux et décomposition de Bruhat · 9 pages

Le sujet étudie les drapeaux de sous-espaces vectoriels et leur lien avec la trigonalisation, puis les groupes quotients et les doubles classes. Il établit la décomposition de Bruhat $A = U P_\sigma V$ d'une matrice inversible, la décomposition LU via les mineurs principaux et le caractère ouvert dense de la grosse cellule, et l'interprète enfin comme description des orbites de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ agissant sur les couples de drapeaux totaux.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Drapeaux de sous-espaces vectoriels p. 3–5

Trigonalisation · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Diagonalisation · Procédé de Gram-Schmidt — drapeau total, base adaptée, endomorphisme nilpotent, trigonalisation en base orthonormée, noyaux itérés

Partie II — Groupes quotients p. 5–6

Groupes · Groupes de matrices — sous-groupe distingué, groupe quotient, classes à gauche, doubles classes, groupe diédral, matrices unipotentes

Partie III — Décomposition de Bruhat et matrices p. 6–8

Groupes de matrices · Topologie des espaces de matrices · Déterminants · Groupe symétrique · Matrices orthogonales et rotations · Densité — décomposition de Bruhat, matrices de permutation, opérations élémentaires, décomposition LU, mineurs principaux, ouvert dense

Partie IV — Décomposition de Bruhat et drapeaux p. 8–9

Actions de groupes · Groupes de matrices · Groupe symétrique — action transitive, action fidèle, stabilisateur, drapeaux totaux, orbites, matrices triangulaires supérieures

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Espaces de Hilbert et théorème de projection Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Groupe topologique Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Groupe symétrique et signature Intérieur, adhérence