AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2016 — Session normale, 1er juin 2016

Probabilités conditionnelles, lois normale et binomiale, fonction avec logarithme et volume d'une cuve, puissances de $1 + \mathrm{i}$ , pyramide régulière ou chaîne de Markov à trois états · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite la production de billes par un arbre pondéré, des lois normales dont on détermine un écart-type, une loi binomiale avec une prise de décision par intervalle de fluctuation et le nombre minimal de billes pour obtenir au moins une bille noire avec une probabilité de 99 %. Le deuxième modélise une cuve par $f(x) = x\ln\left(\frac{x}{2}\right) - x + 2$ , encadre puis calcule une aire par une primitive et interprète un algorithme de dichotomie. Le troisième cherche à partir de quel rang les points d'affixe $(1+\mathrm{i})^n$ sortent d'un carré. Au choix, les non-spécialistes étudient dans une pyramide régulière l'alignement de points, la section par le plan $(BCI)$ et la position relative de deux plans, et les spécialistes modélisent des échanges de boules entre deux urnes par une matrice de transition diagonalisée dont ils déduisent les probabilités limites.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, lois normales, loi binomiale et intervalle de fluctuation p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Loi normale et vecteurs gaussiens · Lois de Bernoulli et binomiale · Statistique : estimation et tests · Fonctions exponentielle et logarithme — probabilités totales, probabilité conditionnelle, détermination d'un écart-type, loi binomiale, intervalle de fluctuation asymptotique, probabilité d'au moins un succès

Exercice 2 — Fonction avec logarithme : tangentes, encadrement et calcul d'aire, algorithme de dichotomie p. 2–3

Intégrale sur un segment · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $f(x) = x\ln\left(\frac{x}{2}\right) - x + 2$ , équation de tangente, encadrement d'une aire, primitive, volume d'un prisme, dichotomie

Exercice 3 — Puissances de $1 + \mathrm{i}$ et points extérieurs à un carré p. 4

Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques — $z_n = (1 + \mathrm{i})^n$ , forme exponentielle, module, carré de centre $O$ , recherche d'un rang

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Pyramide régulière : repère orthonormé, alignement, section et position relative de deux plans p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — pyramide régulière, repère orthonormé, points alignés, droites parallèles, $\vec{n}(1 ; 1 ; 2)$ , vecteurs coplanaires, plans perpendiculaires

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Échanges de boules entre deux urnes : matrice de transition, diagonalisation et loi limite p. 5

Chaînes de Markov · Calcul matriciel · Diagonalisation · Probabilités totales et formule de Bayes — probabilités conditionnelles, matrice de transition, $R_{n+1} = R_n M$ , $M = PDP^{-1}$ , puissances d'une matrice, probabilités limites

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus La loi normale Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Dérivabilité Théorème de définition par récurrence Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Espaces vectoriels et sous-espaces Matrices d'une application linéaire