AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2024 — Jour 1, 21 mai 2024

Objets rares d'un jeu vidéo : probabilités conditionnelles et loi binomiale, QCM de géométrie dans l'espace, fonction $x\ln(x^2) - \frac{1}{x}$ et convexité, intégrales $\int_0^{\pi} \mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x$ · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice calcule par un arbre pondéré la probabilité de tirer une épée et celle qu'une épée soit rare, puis étudie une loi binomiale sur 30 défis (espérance, $P(X < 6)$ , plus grand $k$ tel que $P(X \geqslant k) \geqslant 0{,}5$ ) et le nombre minimal de tirages pour obtenir au moins un objet rare avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ . Le deuxième exercice est un QCM de géométrie dans l'espace : représentation paramétrique, appartenance d'un point à une droite, position de deux droites et plan perpendiculaire à une droite. Le troisième exercice étudie $f(x) = x\ln(x^2) - \frac{1}{x}$ , d'abord par lecture graphique, puis par le calcul (limites, $f''(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$ , convexité, variations, solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ vérifiant $\alpha^2 = \exp\left(\frac{1}{\alpha^2}\right)$ ). Le quatrième exercice étudie $I_n = \int_0^{\pi} \mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x$ : positivité, décroissance, majoration, limite, puis deux intégrations par parties qui donnent $I_n = \frac{1 + \mathrm{e}^{-n\pi}}{n^2 + 1}$ et un script Python de seuil.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, probabilité conditionnelle et loi binomiale : nombre minimal de tirages p. 1

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance, $P(X < 6)$ , probabilité d'au moins un succès

Exercice 2 — QCM de géométrie dans l'espace : droites, points et plan perpendiculaire à une droite p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, appartenance d'un point à une droite, position relative de deux droites, équation cartésienne d'un plan, vecteur normal

Exercice 3 — Fonction $x\ln(x^2) - \frac{1}{x}$ : lecture graphique, convexité, variations et solution de $f(x) = 0$ p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité — tangente, lecture graphique, dérivée seconde, point d'inflexion, valeurs intermédiaires, $\alpha^2 = \exp\left(\frac{1}{\alpha^2}\right)$

Exercice 4 — Suite d'intégrales $I_n = \int_0^{\pi} \mathrm{e}^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x$ : monotonie, limite et intégration par parties p. 3–4

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme · Fonctions trigonométriques — suite d'intégrales, positivité de l'intégrale, suite décroissante minorée, théorème des gendarmes, intégration par parties, $I_n = \frac{1 + \mathrm{e}^{-n\pi}}{n^2 + 1}$ , algorithme de seuil

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Fonctions trigonométriques