AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2026 — Jour 2, 21 mai 2026

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev, suite récurrente et somme de termes, géométrie dans l'espace, fonction logarithme et intégration par parties · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la commercialisation de tomates issues de deux fournisseurs à l'aide d'un arbre pondéré et l'origine d'une tomate non commercialisable par une probabilité conditionnelle inverse, puis le nombre de tomates non commercialisables par une loi binomiale et la fréquence $F_n$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième étudie la fonction $f(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 + x^2}}$ , puis la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ de premier terme $u_0 = 1$ , dont la convergence est obtenue par récurrence et monotonie, puis retrouvée à l'aide de la suite géométrique $v_n = \frac{u_n^2}{3 - u_n^2}$ , avant d'encadrer la somme $S_n$ des carrés des termes. Le troisième, dans un repère de l'espace, détermine un plan perpendiculaire à une droite, un projeté orthogonal, le volume du tétraèdre $ABCD$ et la distance de $D$ au plan $(ABC)$ . Le quatrième étudie $f(x) = x(\ln x)^2$ (limites, variations, équation $f(x) = 2$ ) et calcule par deux intégrations par parties une intégrale dont il cherche la limite quand $a$ tend vers 0.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une fréquence p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments — arbre pondéré, probabilités totales, $P_B(C) = 0{,}85$ , loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}09$ , fréquence $F_n = \frac{X_n}{n}$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P(0{,}04 < F_n < 0{,}14)$

Exercice 2 — Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ : récurrence, convergence monotone, suite géométrique auxiliaire et somme des carrés des termes p. 2–3

Suites numériques · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — $f(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 + x^2}}$ , raisonnement par récurrence, $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt{3}$ , suite géométrique $v_n = \frac{u_n^2}{3 - u_n^2}$ , $S_n = u_0^2 + u_1^2 + \dots + u_{n-1}^2$ , théorème de comparaison, fonction Python

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace : plan orthogonal à une droite, projetés orthogonaux, aire d'un triangle et volume d'un tétraèdre p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, équation cartésienne $2x + y + 2z - 14 = 0$ , projeté orthogonal, points non coplanaires, produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ , volume du tétraèdre $ABCD$ , distance d'un point au plan $(ABC)$

Exercice 4 — Étude de $f(x) = x(\ln x)^2$ , théorème des valeurs intermédiaires et intégrations par parties p. 4–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x(\ln x)^2$ , croissances comparées, $f'(x) = (\ln x)(2 + \ln x)$ , théorème des valeurs intermédiaires, encadrement de $\alpha$ , intégration par parties, limite d'une intégrale

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point