AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2016 — Remplacement, septembre 2016

Suite d'intégrales de fonctions exponentielles, droite orthogonale à un plan dans un cube, QCM sur complexes, fonction et loi exponentielle, suites de matrices · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la suite $u_n = \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-(n-1)x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}\,\mathrm{d}x$ , d'abord graphiquement puis en démontrant sa convergence à partir du signe de $f_{n+1} - f_n$ , et obtient sa limite grâce à la relation $u_n + u_{n+1} = \frac{1 - \mathrm{e}^{-n}}{n}$ . Le deuxième montre dans un cube que la droite $(BH)$ est perpendiculaire au plan $(DEG)$ et se demande ce que représente pour le triangle $DEG$ leur point d'intersection. Le troisième est un QCM sur une équation du second degré dans $\mathbb{C}$ , l'argument de $1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , la fonction $\mathrm{e}^{-x}\sin x$ et la loi exponentielle. Ce sujet ne comporte que l'exercice de spécialité, qui suit la proportion d'ordinateurs défaillants d'un parc par la relation $X_{n+1} = AX_n$ puis $X_{n+1} = DX_n + B$ et en déduit le comportement à long terme.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Suite d'intégrales de fonctions exponentielles : monotonie, convergence et limite p. 1–2

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $f_n(x) = \frac{\mathrm{e}^{-(n-1)x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}$ , $u_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$ , interprétation graphique, suite décroissante minorée, $u_n + u_{n+1} = \frac{1 - \mathrm{e}^{-n}}{n}$ , limite d'une suite d'intégrales

Exercice 2 — Cube : droite perpendiculaire à un plan et centre de gravité d'un triangle p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, droite orthogonale à un plan, équation cartésienne d'un plan, intersection d'une droite et d'un plan, triangle équilatéral, centre d'un triangle

Exercice 3 — QCM : équation dans $\mathbb{C}$ , argument, fonction $\mathrm{e}^{-x}\sin x$ et loi exponentielle p. 3

Nombres complexes · Dérivabilité · Loi exponentielle · Second degré · Fonctions trigonométriques · Intégrale sur un segment — questionnaire à choix multiples, $z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0$ , $1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , $f(x) = \mathrm{e}^{-x}\sin x$ , primitive, loi exponentielle

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Évolution d'un parc informatique : suites de matrices et état limite p. 3–4

Calcul matriciel · Suites numériques · Graphes · Matrices stochastiques et bistochastiques — graphe probabiliste, $X_{n+1} = AX_n$ , $X_{n+1} = DX_n + B$ , matrice diagonale, suite auxiliaire $Y_n$ , comportement à long terme

Dans l'édifice

Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Dérivabilité Lois de Poisson et loi exponentielle Anneaux de polynômes Fonctions trigonométriques Matrices d'une application linéaire