AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2022 — Jour 2, 18 mai 2022

Géométrie dans l'espace et volume d'une pyramide, fonction logarithme et convexité, probabilités conditionnelles, loi binomiale et surbooking, suite récurrente d'une population de bactéries · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice montre que $ABCD$ est un rectangle, détermine une équation du plan $(ABD)$ et le projeté orthogonal de $K$ sur ce plan, puis calcule le volume de la pyramide $KABCD$ . Le deuxième associe les courbes d'une fonction et de sa dérivée, puis étudie $f(x) = \ln(x^2 - x - 6)$ sur $\left]3, +\infty\right[$ : limites, asymptote, variations, solution de $f(x) = 3$ et convexité. Le troisième traite un trajet vers l'aéroport par un arbre pondéré, puis le surbooking d'un vol par une loi binomiale et l'espérance du chiffre d'affaires. Le quatrième étudie la suite $p_{n+1} = 0{,}3 + 0{,}7p_n^2$ issue d'un modèle de descendance de bactéries : conjectures sur tableur, récurrence, convergence et limite obtenue par une équation du second degré, puis une fonction Python à compléter.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Rectangle dans l'espace, plan $(ABD)$ , projeté orthogonal et volume d'une pyramide p. 1

Géométrie vectorielle dans l'espace — rectangle, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal, hauteur $\sqrt{273}$ , volume de la pyramide $KABCD$

Exercice 2 — Fonction $\ln(x^2 - x - 6)$ : lecture graphique, asymptote, variations et convexité p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes · Second degré — courbes de $f$ et de $f'$ , $f(x) = \ln(x^2 - x - 6)$ , asymptote verticale, théorème des valeurs intermédiaires, $f''(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x - 13}{(x^2 - x - 6)^2}$ , fonction concave

Exercice 3 — Arbre pondéré, surbooking : loi binomiale et espérance du chiffre d'affaires p. 3–4

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale $\mathcal{B}(206\,;\,0{,}95)$ , $P(X \leqslant 200)$ , $C = 51\,500 - 850Y$ , surbooking

Exercice 4 — Suite $p_{n+1} = 0{,}3 + 0{,}7p_n^2$ : tableur, récurrence, limite et programme Python p. 4–5

Suites numériques · Second degré · Informatique et algorithmique · Processus de branchement et urnes — $p_{n+1} = 0{,}3 + 0{,}7p_n^2$ , tableur, conjecture, raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, $0{,}7x^2 - x + 0{,}3 = 0$ , liste en Python

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point Anneaux de polynômes Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Martingales et temps d'arrêt