AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2024 — Jour 2, 6 juin 2024

Tirages avec remise : dénombrement, espérance d'une somme, fonction $\frac{\mathrm{e}^x}{x - 1}$ (convexité, tangente, TVI), cube et volume de la pyramide $EFHI$ , suite $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 1}$ et nombre d'or · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice dénombre les tirages de trois jetons avec remise, établit la loi et l'espérance du numéro tiré, puis calcule l'espérance de la somme $S = X_1 + X_2 + X_3$ et la probabilité de gagner un lot. Le deuxième étudie $f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x - 1}$ sur $\left]-\infty, 1\right[$ (limites, variations, convexité), en déduit une inégalité à l'aide de sa tangente en 0 et encadre l'unique solution de $f(x) = -2$ . Le troisième montre dans un cube que $\overrightarrow{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$ , calcule le projeté orthogonal de $E$ sur ce plan et en déduit l'aire du triangle $FHI$ par le volume de la pyramide $EFHI$ . Le quatrième étudie $f(x) = \sqrt{x + 1}$ et la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ , montre qu'elle converge vers $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et interprète un script Python de seuil.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Tirages avec remise : dénombrement, loi uniforme et espérance d'une somme de variables p. 1

Dénombrement et combinatoire · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires · Espaces probabilisés — tirages ordonnés avec remise, tirages sans répétition, au moins une répétition, loi uniforme, espérance de $S = X_1 + X_2 + X_3$ , linéarité de l'espérance, $P(S = 24)$

Exercice 2 — Fonction $\frac{\mathrm{e}^x}{x - 1}$ : limites, variations, convexité, tangente et équation $f(x) = -2$ p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x - 1}$ , asymptote verticale, $f'(x) = \frac{(x - 2)\mathrm{e}^x}{(x - 1)^2}$ , convexité et tangente, $\mathrm{e}^x \geqslant (-2x - 1)(x - 1)$ , théorème des valeurs intermédiaires, encadrement d'une solution

Exercice 3 — Cube : plan $(FHI)$ , projeté orthogonal et volume de la pyramide $EFHI$ p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, milieu d'un segment, vecteur normal, équation cartésienne $-2x - 2y + z + 1 = 0$ , représentation paramétrique d'une droite, projeté orthogonal sur un plan, volume de la pyramide $EFHI$ , aire du triangle $FHI$

Exercice 4 — Suite récurrente $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 1}$ : monotonie, convergence vers le nombre d'or et script Python p. 3–4

Suites numériques · Dérivabilité · Informatique et algorithmique · Second degré — $f(x) = \sqrt{x + 1}$ , équation $f(x) = x$ , $\ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , quantité conjuguée, raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, boucle while en Python

Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Anneaux de polynômes