AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2025 — Jour 1, 12 juin 2025

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, QCM de géométrie dans l'espace, fonction logarithme et suite récurrente, équation différentielle et modèle de population · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie les contrôles d'une caisse automatique à l'aide d'un arbre pondéré et d'une probabilité conditionnelle inverse, puis d'une loi binomiale (probabilité d'au moins une erreur, nombre de contrôles nécessaire) et enfin de la somme $S = X_1 + X_2 + X_3$ de trois variables binomiales, à laquelle on applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième est un QCM de géométrie dans l'espace sur les positions relatives de droites et de plans et sur la mesure d'un angle $\widehat{BAC}$ . Le troisième étudie la fonction $f(x) = 4\ln(x+1) - \frac{x^2}{25}$ , localise par le théorème des valeurs intermédiaires et un script Python la solution $\alpha$ de $f(x) = x$ , puis montre que la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ , $u_0 = 2$ , converge vers $\alpha$ . Le quatrième résout l'équation $y' + 0{,}48y = \frac{1}{250}$ et s'en sert, par le changement de fonction $p = \frac{1}{y}$ , pour obtenir l'expression d'une population de bactéries, sa limite et le temps de dépassement d'un seuil.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale, somme de variables binomiales et inégalité de Bienaymé-Tchebychev p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré, $P(\overline{T} \cap E)$ , probabilité conditionnelle inverse, au moins une erreur détectée, $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}165)$ , $S = X_1 + X_2 + X_3$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 2 — QCM de géométrie dans l'espace : positions relatives de droites et de plans, angle de deux vecteurs p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — QCM, représentation paramétrique, équation cartésienne $4x + 4y - 2z + 3 = 0$ , position relative de deux droites, position relative d'une droite et d'un plan, position relative de deux plans, angle $\widehat{BAC}$ , produit scalaire

Exercice 3 — Étude d'une fonction logarithme, théorème des valeurs intermédiaires, script Python et suite récurrente convergente p. 3–4

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Suites numériques · Limites de fonctions et asymptotes · Informatique et algorithmique · Second degré — $f(x) = 4\ln(x+1) - \frac{x^2}{25}$ , $h(x) = f(x) - x$ , théorème des valeurs intermédiaires, fonction Python bornes, $u_{n+1} = f(u_n)$ , $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < 6{,}5$ , raisonnement par récurrence, théorème de convergence monotone

Exercice 4 — Équation différentielle linéaire avec second membre constant et changement de fonction pour un modèle de population p. 5

Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes — $y' + 0{,}48y = \frac{1}{250}$ , solution particulière constante, $p' = \frac{1}{250}p(120 - p)$ , changement de fonction $p = \frac{1}{y}$ , $p(t) = \frac{120}{1 + K\mathrm{e}^{-0{,}48t}}$ , population de bactéries, temps de dépassement d'un seuil

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Limite d'une fonction en un point Théorème de définition par récurrence Anneaux de polynômes Systèmes linéaires et exponentielle de matrices